【抽象代数】 04 - 类方程和有限群

合集 - 抽象代数(9)

1.【抽象代数】 01 - 数学的“倚天剑”2015-05-092.【抽象代数】 02 - 代数与群2015-05-093.【抽象代数】 03 - 商群和直积2015-05-10

4.【抽象代数】 04 - 类方程和有限群2015-05-10

5.【抽象代数】 05 - 环和域2015-09-096.【抽象代数】 06 - 理想与直和2015-09-097.【抽象代数】 07 - 因子分解和多项式环2015-09-108.【抽象代数】 08 - 域的扩张2015-09-109.【抽象代数】 09 - 伽罗瓦理论2015-09-10

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　　之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段作为预热，并以其在有限群下应用来体会这种方法的强大。

1. 类方程

1.1 群的作用

　　前面提到过，$gG$将$G$中的元素作了一个变换，同样$g(aH)$也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群$G$作用到一个集合$X$，结果还是在$X$中。用函数的方法表示这个变换：$g(x)$，其中$g\in G$，$x,g(x)\in X$。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即$g^{-1}(g(x))=x$，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫$G$在$X$上的作用（action）。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& g_1{g}_2(x)=g_1(g_2(x)),e(x)=x\end{array}$$

　　作用的结果可以写成一张表，行为$G$列为$X$，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是$g(x)=x$的情况，其中$g$称为$x$的稳定子（stabilizer），$x$所有的稳定子记作$S_x$，容易证明它是一个子群。$x$称为$g$的不动元素（fixed element），$g$的所有不动元记作$F_g$。对所有$g$都不动的也叫$G$的不动元素，记为$F_G$，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。

　　先从$G$的方向考察$g(x)$，即对于指定的$x$，$g(x)$的取值情况。$g(x)$的所有取值称为$x$轨道（orbit），记作$O_x$。如果$g(x)=y\in O_x$，则有$g^{-1}(y)=x\in O_y$。故不同的$O_x$之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是$G$的不动元。

　　一个自然的问题是，$O_x$中究竟有多少元素？若$g_1,g_2$使得$g_1(x)=g_2(x)$，则有$g_1^{-1}{g}_2(x)=x$，从而$g_1,g_2$同属于$S_x$的一个陪集。这就是说$O_x$中不同元素的个数为$[G:S_x]$。如果为所有轨道选一个代表$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，则有以下类方程。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& |X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+\cdots +[G:S_{x_n}]\end{array}$$

　　另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设$g(x)=y$，将$x=g^{-1}(y)$带入$a(x)=x$，则有$ga{g}^{-1}(y)=y$，所以就得到$g{S}_x{g}^{-1}=S_y$。这个性质让我们想到正规子群，即对任意$N⊴G$，可有$N\cap S_x=N\cap S_y$。从而$G$作用下的一个轨道在$N$下有相同的稳定子，即那个轨道在$N$下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果$G$下只有一个轨道，则$N$的每个轨道一样长。

　　最后再从$X$的方向考察$g(x)$，即对于指定的$g$，$g(x)$的取值情况。首先若$g(x)=g(y)$，则$g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y))$，即有$x=y$，$g$的作用是$X$上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足$g(x)=x$都有元素对$(g,x)$，有$\sum _{g\in G}|F_g|=\sum _{x\in X}|S_x|=\sum _{k=1}^n|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|$，整理便得到以下等式，它称为伯恩赛德（Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& n={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}|F_g|\end{array}$$

1.2 共轭

　　不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了$gS{g}^{-1}$的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令$X$是群$G$的所有子集的集合，考察群$G$在$X$上的变换$g(S)=gS{g}^{-1}$。满足$g{S}_1{g}^{-1}=S_2$的子集$S_1,S_2$称为共轭的（conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。

　　首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做共轭类，共轭类中的元素互为共轭。子集$S$的稳定子满足$gS{g}^{-1}=S$，它也称为$S$的正规化子，记作$N(S)$，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和$N(S)$的陪集一一对应，每个共轭类中有$[G:N(S)]$个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& N(gS{g}^{-1})=gN(S)g^{-1}\end{array}$$

　　现在来考虑一些特殊情况。首先，以上$X$中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于$X=G$，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素$F_G$显然就是中心$C$。如果中心元有$c$个，其它等价类$C_k$分别有$c_k$个元素（$k=1,2,\cdots ,m$），则类方程变成以下形式。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& G=C\cup C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m,|G|=c+c_1+c_2+\cdots +c_m\end{array}$$

　　其次，还可以把$X$中的元素限定为子群，这就定义了共轭子群。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有$S\subseteq N(S)$，而对于子群$H$不仅有$H\subseteq N(H)$，还有$H⊴N(H)$。从另一个角度看，$N(H)$其实是通过缩小$G$来使$H$成为正规子群，$N(H)$是$G$中使$H$称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小$H$来得到一个正规子群呢？考察$H$的所有共轭子群之交$K=\cap H_k$，可以证明$a{H}_k{a}^{-1}$任然包含所有$H$的共轭子群，从而恒有$aK{a}^{-1}=K$，即$K$为正规子群。特别的，如果$H$的指数有限，则$K$的指数也有限。

　　相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子$N(x)$是所有满足$ax{a}^{-1}=x$的元素，即所有与$x$可交换的元素。为此可以定义与子集$S$所有元素可交换的集合，称它为$S$的中心化子，并记做$C(S)$。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有：$C(x)=N(x)$。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& C(S)⊴N(S)\end{array}$$

　　思考两个简单的问题（亦可作为结论）：

　　• 求证：$⟨a⟩⊴N(a)⩽N(⟨a⟩)$；

　　• 求证：$C(S)$是$S$各元素正规化子的交。

　　关于交错群$A_n$有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当$n\ne 4$时，$A_n$都是单群。对$n<4$的场景可以直接验证，你还可以证明（最好使用下段结论）$A_4$有唯一正规子群$K_4$。当$n>4$时，证明比较繁杂，但方法很基础，作为习题比较好，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干$3$-循环之积，并且$A_n$可以由一些$3$-循环生成。其次证明$A_n$对$3$-循环集$X$的作用只有一个轨道，所以$A_n$中包含一个$3$-循环的正规子群只能是$A_n$自身。最后通过分情况讨论，证明$A_n$的正规子群必含有一个$3$-循环，这就证明了$A_n,(n>4)$是单群。

1.3 重陪集

　　元素$g$与左陪集$xK$可以定义作用$g(xK)=gxK$，现在就来看看这个作用有什么结论。记$X$为子群$K$的所有左陪集，考察子群$H$到$X$的作用（选$G$得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成$HxK$，它也称为重陪集。重陪集可以既可以看成是一些$K$的左陪集之并，也可以看成是一些$H$的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。

　　作用的稳定子满足$hxK=xK$，从而$x^{-1}hx\in K$，即$h\in xK{x}^{-1}$。稳定子的集合为$H\cap xK{x}^{-1}$，从而轨道内元素的个数是$[H:H\cap xK{x}^{-1}]$。结合重陪集的意义和群的作用，就得到$HxK$里$H$的右陪集个数$n_{Hx}$和$K$的左陪集个数$n_{xK}$分别为以下公式。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& n_{Hx}=[K:K\cap x^{-1}Hx],n_{xK}=[H:H\cap xK{x}^{-1}]\end{array}$$

　　再来看看稳定元素$F_H$，它们对一切$h$满足$hxK=xK$，这就得到$xK{x}^{-1}=H$，它要求$K,H$首先是共轭的。当$H=K$时，可知$x\in N(H)$，即$F_H$为$N(H)$中$H$的所有陪集，个数为$[N(H):H]$。

2. 有限群

2.1 p-群和p阶群

　　对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除$e$外每个元素都是生成元。对于素数幂次$p^s$阶群，它每个子群的阶都是$p$的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫$p$-群。

　　拉个朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为$pm$的群$G$，它有$p$阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当$m=1$时结论显然，现在假设结论对$pk,k<m$成立。任意找一个非平凡子群$H$，如果$p\mid |H|$，则由假设知存在$p$阶子群。如果总有$p\nmid |H|$，考察类方程（5），有$p\mid c_k$，从而中心的阶满足$p\mid c$。而中心为正规子群，它的商群$G/N$必有$p$阶子群$bH$，则必定有$p\mid |b|$，所以$⟨b⟩$中有$p$阶元。综合以上就得到了结论：阶为$pm$的群必有有$p$阶子群，该结论也叫柯西定理。

　　这个结论非常有用，比如由此可以判断$pq$阶交换群必有$p,q$阶子群$⟨a⟩,⟨b⟩$，而$⟨ab⟩$的阶为$pq$，所以它必定是循环群。思考下面的习题：

　　• 求证$p$-群有中心；

　　• 求证$p^2$阶群是循环群，另外仅有一个$p$阶子群的$p$-群也是循环群；

　　• 同构意义下，$4$阶群只有循环群和$K_4$。

2.2 西罗定理

　　继续刚才的问题，如果$G$的阶为$p^{s}m,(p\nmid m)$，它是否有$p^k,(k⩽s)$阶子群呢？当$k=0,1$时结论显然成立，假设有$p^k,(k<s)$阶子群$H$，考察式（8）的重陪集分解。左侧有$p\mid [G:H]$，右侧那些重陪集除了$F_H$外都有$p\mid [H{x}_{i}H:H]$，从而$p\mid |F_H|=[N(H):H]$。所以有$p\mid |N(H)/H|$，故$N(H)/H$有$p$阶子群$K/H$，其中$|K|=p^{k+1}$，且$H⊴K$。这就构造出了$p^{k+1}$阶子群，继而可以构造所有$p^i,(0⩽i⩽s)$阶子群，其中$p^s$阶子群也叫$\text{Sylow}p$-子群。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& G=H{x}_{1}H\cup H{x}_{2}H\cup \cdots \cup H{x}_{r}H\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& G=H{x}_{1}K\cup H{x}_{2}K\cup \cdots \cup H{x}_{r}K\end{array}$$

　　显然每个$\text{Sylow}p$-子群的共轭也是$\text{Sylow}p$-子群，反之对两个$\text{Sylow}p$-子群$K,H$，考察其重陪集分解（9）。因为$p\nmid [G:H]$，而右侧重陪集除$F_H$外都有$p\mid [H{x}_{i}K:H]$，故有$F_H>1$。即存在$HxK=xK$，这就有$x^{-1}Hx=K$，从而$H,K$共轭。既然所有的$\text{Sylow}p$-子群是一个共轭子群类，而稳定子为$N(H)$，故$\text{Sylow}p$-子群的个数为$d=[G:N(H)]$，首先当然有$d\mid |G|$。其次，容易有$p\mid [G:H]-[N(H):H]$，即$p\mid (d-1)[N(H):H]$，从而$p\mid d-1$。总结这两段的讨论就是重要的西罗定理（$G$的阶为$p^{s}m,p\nmid m$）：

（1）西罗第一定理：存在$p^i,(0⩽i⩽s)$阶子群，且对任意$p^k,(k<s)$阶子群$H$都有$p^{k+1}$阶子群$K$使得$H⊴K$；

（2）西罗第二定理：所有$\text{Sylow}p$-子群共轭；

（3）西罗第三定理：$\text{Sylow}p$-子群个数$n$满足：$n\mid m$且$n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

　　西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果$\text{Sylow}p$-子群仅有$1$个，那它必为正规子群，可以将群拆分为$\text{Sylow}p$-子群及其商群来研究。如果$\text{Sylow}p$-子群有$n>1$个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从$G$到$S_n$的同态映射，这就说明了$G$有同态于$S_n$的商群。

　　在上面我们得到过结论：$pq$阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但$p\nmid q-1,q\nmid p-1$，则$p$-子群和$q-$子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。

　　这个正规性还使得$\text{Sylow}p$-子群可参与有限群的分解。若有$|G|=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}$，且$\text{Sylow}{p}_k$-子群$P_k$都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意$d\mid |G|$，设$d=p_1^{e_1^{\prime }}{p}_2^{e_2^{\prime }}\cdots p_s^{e_s^{\prime }}$。由Sylow定理知，$P_k$中总有$p_k^{e_k^{\prime }}$阶子群$H_k$，则显然$H_1\times H_2\times \cdots \times H_s$的阶就是$d$。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意$d\mid |G|$都有阶为$d$的子群。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& G=P_1\times P_2\times \cdots \times P_s\end{array}$$

　　考虑几个习题：

　　• $P$为$\text{Sylow}p$-子群，若$p$-群$H$满足$H\subseteq N(P)$，则$H\subseteq P$；

　　• 同构意义下，$6$阶群只有循环群和$S_3$；

　　• 若$|G|=p^{2}q$或$|G|=pqr$，则$G$不是单群。

2.3 有限交换群

　　刚才我们把有限交换群分解成了$\text{Sylow}p$-子群的直积，现在来看交换群$\text{Sylow}p$-子群$P$能否再进一步分解。考察$P$的一组生成元$\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，由于是交换群，则必定有$G=⟨a_1⟩⟨a_2⟩\cdots ⟨a_n⟩$。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个$\text{Sylow}p$-子群$P$都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群$G$都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是$p$-群。它们的生成元被称为$G$的基，生成元的阶被称为初等因子，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& G=⟨a_1⟩\times ⟨a_2⟩\times \cdots \times ⟨a_n⟩,|a_k|=p_i^j\end{array}$$

　　可以将$G$的初等因子分成多组$r_1,r_2,\cdots ,r_m$，并且满足$r_k\mid r_{k+1}$。相应地就有下式成立。$r_k$叫的不变因子，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限交换群基本定理（后面会从自由群的角度重新论证）。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& G=⟨b_1⟩\times ⟨b_2⟩\times \cdots \times ⟨b_n⟩,|b_k|\mid |b_{k+1}|\end{array}$$

　　关于群论的基础知识，我们在这里就匆匆结束了。下面我打算接着学习抽象代数的其它结构，后面会以更高的视角回来继续介绍群论，相信那个时候的理解会深刻一些。