1. 同余

　　公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数 $m$ 而言，其它整数与它的关系以 $m$ 为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果 $m ∣ a - b$ ，则称 $a, b$ 在模 $m$ 下同余，记做 $a \equiv b (\mod m)$ 。比较容易证明同余关系是一个等价关系，它将整数限定在一个有限的空间里，大大方便了讨论。同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言。由于同余继承自整除的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，请自行证明并牢记于心：

　　（1）若 $a \equiv b, c \equiv d (\mod m)$ ，则有 $a \pm c \equiv b \pm d (\mod m)$ 和 $a c \equiv b d (\mod m)$ ；

　　（2）若 $a \equiv b (\mod m)$ ，则 $d a \equiv d b (\mod m)$ ；

　　（3） $d a \equiv d b (\mod m)$ 等价于 $a \equiv b (\mod \frac{m}{(m, d)})$ ；

　　（4）若 $a \equiv b (\mod m), m^{'} ∣ m$ ，则 $a \equiv b (\mod m^{'})$ ；

　　（5） $a \equiv b (\mod m_{k}), (k = 1, \dots, n)$ 等价于 $a \equiv b (\mod [m_{1}, \dots, m_{n}])$ 。

　　性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况 $d ∣ m$ 和 $(d, m) = 1$ 的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当 $(a, m) = 1$ 时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在 $d$ 使得 $d a \equiv 1 (\mod m)$ ， $a^{- 1} = d$ 称为 $a$ 的逆。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与模互素的数存在。

　　既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足 $x \equiv r (\mod m)$ 的整数组成的集合称为一个剩余类，记作 $r mod m$ ，模 $m$ 的所有剩余类组成的集合记作 $Z_{m} = {r mod m ∣ 0 ⩽ r ⩽ m - 1}$ 。当 $(r, m) = 1$ 时， $r mod m$ 又称为既约剩余类，显然它们共有 $φ (m)$ 个。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义逆，容易证明逆存在则必是唯一的，且有 $(a^{- 1})^{- 1} = a$ 。

　　利用同余的性质解决以下问题：

　　• 求 $3^{3} \cdot 45$ 的末两位数。

2. 剩余系

　　虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。从每个剩余类中取一个元素组成的集合称为一个完全剩余系，相应地还有既约剩余系的概念。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质（证明不难，请自行脑补）：

　　（1）若 ${a_{k}}$ 是一个完全剩余系，则对任何整数 $c$ ， ${a_{k} + c}$ 仍然是一个完全剩余系；

　　（2）若 ${a_{k}}$ 是一个完全（既约）剩余系，且 $(d, m) = 1$ ，则 ${d a_{k}}$ 仍然是一个完全（既约）剩余系。

　　性质（2）告诉我们，如果 ${r_{1}, r_{2}, \dots, r_{φ (n)}}$ 是 $n$ 的既约剩余系，且 $(a, n) = 1$ ，则 ${a r_{1}, a r_{2}, \dots, a r_{φ (n)}}$ 也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模 $n$ 同余的，即式子（1），这样就得到了著名的欧拉定理（公式（2））。取 $n$ 为素数 $p$ 时，则又有了费马小定理（公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即 $a^{- 1} = a^{φ (n) - 1}$ 。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。

$\begin{matrix} (1) & r_{1} \cdot r_{2} \cdot \dots r_{φ (n)} \equiv a r_{1} \cdot a r_{2} \cdot \dots a r_{φ (n)} (\mod n) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & a^{φ (n)} \equiv 1 (\mod n) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3) & a^{p} \equiv a (\mod p) \end{matrix}$

　　简单考虑一个的习题：

　　• 求 $m$ 的最小正既约剩余系的所有元素之和。

　　剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的结构。既然整数 $m$ 可以进行素数分解，想必把模 $m$ 的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于 $m$ 的互质分解 $m = m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ ，我们想看到的是 $m$ 的剩余系和 $m_{k}$ 的剩余系之间的关系。

　　先从简单的 $m = m_{1} m_{2}$ 看起，参考进制数的方法并考察 $x = x_{1} + m_{1} x_{2}$ ，容易证明当 $x_{k}$ 遍历 $m_{k}$ 的完全剩余系，则 $x$ 遍历 $m$ 的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到 $m = m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ 的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于 $(m_{1}, m_{2}) = 1$ ，可知将上式中的 $x_{1}$ 换成 $m_{2} x_{1}$ 结论任然成立。

　　另外，当 $x_{k}$ 遍历 $m_{k}$ 的既约剩余系时，首先由刚才的结论， $x = m_{2} x_{1} + m_{1} x_{2}$ 两两不同余，其次也容易证明它们与 $m$ 互素。综合起来我们就有结论：当 $x_{k}$ 遍历 $m_{k}$ 的既约剩余系时， $x = m_{2} x_{1} + m_{1} x_{2}$ 正好遍历 $m$ 的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到 $m = m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ 的情景，甚至为每一项再乘上任意与 $m_{k}$ 互素的数，结论任然成立。即当 $m_{k}$ 两两互素，且有 $M_{k} = \frac{m}{m_{k}}, (a_{k}, m_{k}) = 1$ ，则当 $x_{k}$ 遍历 $m_{k}$ 的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历 $m$ 的完全（既约）剩余系。

$\begin{matrix} (4) & x = M_{1} x_{1} + M_{2} x_{2} + \dots + M_{n} x_{n} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (5) & x = a_{1} M_{1} x_{1} + a_{2} M_{2} x_{2} + \dots + a_{n} M_{n} x_{n} \end{matrix}$

　　表达式中的 $x_{k}$ 就像 $x$ 的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是 $m_{k}$ 的剩余系，它们可以相加得到 $m$ 的剩余系 $x = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式 $x = x_{1} x_{2} \dots x_{n}$ ，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（ $a_{k}, M_{k}$ 的意义同上），它的每一项是 $m_{k}$ 的剩余系，各项相乘后是 $m$ 的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见习题）。

$\begin{matrix} (6) & x = (a_{1} M_{1} x_{1} + M_{2} + \dots + M_{n}) (M_{1} + a_{2} M_{2} x_{2} + M_{3} + \dots + M_{n}) \dots (M_{1} + M 2 + \dots + a_{n} M_{n} x_{n}) \end{matrix}$

尝试解决以下问题：

　　• 求 $13$ 的一个完全剩余系 $r_{k}, (1 ⩽ k ⩽ 13)$ ，满足 $r_{k} \equiv k (\mod 3)$ 和 $r_{k} \equiv 0 (\mod 7)$ ；

　　• 若 ${a_{k}}$ 是 $m$ 的既约剩余系，则对任何满足 $(c, m) = 1$ 的整数， ${a_{k} + c}$ 都不可能是既约剩余系。

　　• 不可能有 $m_{k}$ 的既约剩余系 $x_{k}$ ，使得 $x = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 和 $x = x_{1} x_{2} \dots x_{n}$ 都是 $m$ 的既约剩余系；

　　以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果 $(m_{1}, m_{2}) = 1$ ，则 $φ (m_{1} m_{2}) = φ (m_{1}) φ (m_{2})$ 。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将 $1, 2, \dots, n$ 按照与 $n$ 的最大公约数 $d$ 划分为不同的集合，容易知道每个集合有 $φ (\frac{n}{d})$ 个元素，所以共有 $\sum_{d ∣ n} φ (\frac{n}{d}) = \sum_{d ∣ n} φ (d)$ 个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。

$\begin{matrix} (7) & \sum_{d ∣ n} φ (d) = \sum_{e_{1}^{'} = 0}^{e_{1}} \dots \sum_{e_{s}^{'} = 0}^{e_{s}} φ (p_{1}^{e_{1}^{'}} \dots p_{s}^{e_{s}^{'}}) = \sum_{e_{1}^{'} = 0}^{e_{1}} φ (p_{1}^{e_{1}^{'}}) \dots \sum_{e_{s}^{'} = 0}^{e_{s}} φ (p_{s}^{e_{s}^{'}}) = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{s}^{e_{s}} = n \end{matrix}$

$\begin{matrix} (8) & \sum_{d ∣ n} φ (d) = n \end{matrix}$

　　剩余系分解的一个典型应用就是解一次同余方程组，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（8）的左侧）。当 $m_{k}$ 两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模 $m = m_{1} m_{2} \dots m_{n}$ 下方程有且仅有一解 $x \equiv M_{k}^{- 1} r_{k} (\mod m_{k})$ 。该结论历史上称为孙子定理（又称中国剩余定理），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。

$\begin{matrix} (8) & {\begin{cases} x \equiv r_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (\mod m_{2}) \\ \dots \dots \\ x \equiv r_{n} (\mod m_{n}) \end{cases} \Leftrightarrow x = M_{1} M_{1}^{- 1} r_{1} + \dots + M_{n} M_{n}^{- 1} r_{n} (\mod m) \end{matrix}$

　　以上定理限定 $m_{k}$ 两两互素，且 $x$ 系数为 $1$ ，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。请尝试以下习题（一般的一元一次方程可先参考下篇）：

　　• 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

　　• 求的 $7$ 一个完全剩余系，每个数模 $2, 3, 5$ 的余数都是 $1$ ；

　　• 解方程 $19 x \equiv 556 (\mod 1155)$ ；

　　• 解方程组 ${\begin{cases} x \equiv 3 (\mod 8) \\ x \equiv 11 (\mod 20) \\ x \equiv 1 (\mod 15) \end{cases} {\begin{cases} 3 x \equiv 1 (\mod 10) \\ 4 x \equiv 7 (\mod 15) \end{cases} {\begin{cases} x + 2 y \equiv 1 (\mod 5) \\ 2 x + y \equiv 1 (\mod 5) \end{cases}$ 。

　　虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为 $1$ ，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模 $p$ 看起，对逆为自身的数有 $(x - 1) (x + 1) \equiv 0 (\mod m)$ ，从而，满足条件的只有两个数 $\pm 1$ 。这样便有了著名的威尔逊（Wilson）定理（公式（9）），它给出了既约剩余系 ${a_{k}}$ 积的整体性质。

$\begin{matrix} (9) & \prod_{k = 1}^{p - 1} a_{k} \equiv (p - 1)! \equiv - 1 (\mod p) \end{matrix}$

　　以上讨论过程对奇素数的幂 $p^{e}$ 仍然成立，对 $2^{n}$ 独立讨论也可知模为 $1, 2, 4$ 时结果为 $- 1$ ，其它模 $2^{n}$ 的结果为 $1$ 。对一般的模 $m = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{n}^{e_{n}}$ ，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积 $\prod$ ，因为除了 $2 p^{e}$ 外都有 $\prod \equiv 1 (\mod p_{k}^{e_{k}})$ ，故除了模为 $2 p^{e}$ 外都有 $\prod = 1 (\mod m)$ 。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为 $m = 1, 2, 4, p^{e}, 2 p^{e}$ （ $p$ 为奇素数）的既约剩余系的乘积模 $m$ 余为 $- 1$ ，其它形式模的既约剩余数之积模 $m$ 余为 $1$ 。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，尝试解决以下问题：

　　• 若 $a_{1}, \dots, a_{p - 1}$ 和 $a_{1}^{'}, \dots, a_{p - 1}^{'}$ 是奇素数 $p$ 的两个完全剩余系，证明 $a_{1} a_{1}^{'}, \dots, a_{p - 1} a_{p - 1}^{'}$ 一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模 $m$ 也成立；

　　• 求证 $1^{2} \cdot 3^{2} \cdot \dots (p - 2)^{2} \equiv 2^{2} \cdot 4^{2} \cdot \dots (p - 1)^{2} \equiv (\frac{p - 1}{2}!)^{2} \equiv - 1^{\frac{p + 1}{2}} (\mod p)$ 。