2.【初等数论】 02 - 整除与公约数2015-04-18

3.【初等数论】 03 - 同余和剩余系2015-04-18 4.【初等数论】 04 - 同余方程2015-04-18 5.【初等数论】 05 - 指数和原根2015-04-19 6.【初等数论】 06 - 不定方程2015-04-19

　　当从这里开始的时候，你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。正如在前两篇中一样，你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种智力游戏，但随着研究的深入，你需要建立一套理论才能看清本质。我们可以从最简单的定义出发，利用理性思维建立这些理论。做题是学习数论的必经途径，你需要在不断地思考中才能有更深刻的理解，但这里我只打算叙述最基础的思想和结论。

1. 整除

　　数论研究整数本身（或自然数，语境自明），初等数论主要研究整数之间的关系。整数的运算中，加减是最平凡的，得不出什么深入的结论，从而乘除法是唯一可以着手的地方。考虑一个简单的等式 $m a = b$ （以后若不作特殊说明，所有符号表示整数），任何两个整数之间都可以有 $m, a$ 这样的乘法运算，但却并不是所有整数都有等式中 $a$ 与 $b$ 的关系。为此，当 $a \neq 0$ 时，定义满足等式的 $a$ 能整除 $b$ ，或 $b$ 被 $a$ 整除， $a$ 称为 $b$ 的约数， $b$ 称为 $a$ 的倍数，记作 $a ∣ b$ ，否则记为 $a ∤ b$ 。

　　仅从定义出发可以得到整除的许多基本性质，这里就不一一列举了，只给出一个最具代表性的：式子（1），即 $a$ 的倍数的线性组合仍是 $a$ 的倍数。整数集线性组合的这一性质体现了元素之间的共性，以后还会继续深究，这里先举一例来感受其意义。若 $a ∣ n, b ∣ n$ ，则有 $a b ∣ n b, a b ∣ n a$ ，进而有 $a b ∣ n (a x + b y)$ ，所以如果有 $a x + b y = 1$ ，则有 $a b ∣ n$ 。

$\begin{matrix} (1) & a ∣ b_{k}, (k = 1, 2, \dots, n) \Rightarrow a ∣ b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + \dots + b_{n} x_{n} \end{matrix}$

　　考虑 $n$ 的所有倍数的集合 $k n$ ，它的元素有无穷多个，且性质是平凡的，不多阐述。现在来考虑 $n$ 的所有约数，显然它们是有限的，但我们似乎还得不出更多的结论。不妨先考察一类特殊的数：如果 $p > 1$ 除了 $\pm 1$ 和 $\pm p$ 外没有其它约数， $p$ 称为质数或素数，反之叫合数，今后我们会约定俗成地用 $p, q$ 表示素数。直观上素数是不能再分解的数，它们是整数的基本因子，任何整数都可以通过有限步分解为素数的乘积。

　　一个自然的问题是，这样的分解唯一吗？你固有的知识可能使你对这个问题相当地自信，但如果冷静思考地一番，就会发现这种自信其实是没有根据的。它的证明并不十分显然，这里通过反证法来推导。假设有某些整数的素数分解不唯一，则存在最小的这样的数，并设它有两个分解式 $a = p_{1} p_{2} \dots p_{n} = q_{1} q_{2} \dots q_{m}$ ，其中 $m, n > 1$ ，并且素数按大小排列。由 $a$ 的最小性知 $p_{i} \neq q_{j}$ ，假设 $p_{1} > q_{1}$ ，考察式（2）。容易证明后一分解式中不含 $q_{1}$ ，从而 $b < a$ 有两个不同的分解式。这与 $a$ 的最小性矛盾，故所有整数都存在唯一的的素数分解式，即表达式（3）唯一。这个证明最早由高斯给出，被称为算术基本定理，它使得整数可以被完全解析。

$\begin{matrix} (2) & b = a - q_{1} p_{2} \dots p_{n} = q_{1} (q_{2} \dots q_{m} - p_{2} \dots p_{n}) = (p_{1} - q_{1}) p_{2} \dots p_{n} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (3) & a = p_{1}^{e_{1}} \cdot p_{2}^{e_{2}} \cdot \dots p_{s}^{e_{s}} \end{matrix}$

　　现在来看数 $a$ 的所有约数，容易知道它们的分解式必定是式子（4）。若记 $a$ 共有 $τ (a)$ 个约数，且它们的和为 $σ (a)$ ，则有公式（5）（6）。

$\begin{matrix} (4) & p_{1}^{e_{1}^{'}} \cdot p_{2}^{e_{2}^{'}} \cdot \dots p_{s}^{e_{s}^{'}}, (0 ⩽ e_{k}^{'} ⩽ e_{k}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (5) & τ (a) = \prod_{k = 1}^{s} τ (p_{k}^{e_{k}}) = \prod_{k = 1}^{s} (e_{k} + 1) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (6) & σ (a) = \prod_{k = 1}^{s} σ (p_{k}^{e_{k}}) = \prod_{k = 1}^{s} \frac{p_{k}^{e_{k} + 1} - 1}{p_{k} - 1} \end{matrix}$

　　来思考几个问题热热身吧：

　　• 求满足 $τ (n) = 6$ 的最小整数；

　　• 求 $\sum_{d ∣ a} \frac{1}{d}$ 的值。

2. 公约数

　　有了算术基本定理，整数之间的倍数关系就基本清楚了。而对于两个任意的整数（不一定有倍数关系），只能通过它们共同的约数或倍数来取得联系。两个数 $a, b$ 共同的约数称为它们的公约数，最大的那个叫最大公约数，记作 $(a, b)$ ，类似还有公倍数和最小公倍数 $[a, b]$ 的概念，最大公约数为 $1$ 的两个数称为互素或既约的。这些概念都有一些比较简单的性质，可以通过算术基本定理去证明，后面会罗列。公约（倍）数为研究整数之间的关系提供了便利，但它们的定义并不依赖于算术基本定理，你完全可以仅从定义出发得到那些常用结论，算术基本定理只是提供了一种方法而已。

　　公约数一定程度上体现了整数之间的相关程度，互素则表现了整数之间的无关性。这个观念为我们分析整数集的结构提供了一个好的思想，不大于 $m$ 的所有数可以按照和 $m$ 的相关程度分类，这个话题我们会在后面展开。现在来考虑一下与 $m$ 无关的（互素）数的个数 $φ (m)$ ，对素数 $p$ 显然有 $φ (p) = p - 1$ 和 $φ (p^{e}) = p^{e - 1} (p - 1)$ ，利用容斥原理排除掉不互素的数之后可以得到公式（7）（下一篇会有另一种方法证明）。

$\begin{matrix} (7) & φ (m) = m \prod_{k = 1}^{s} (1 - \frac{1}{p_{k}}) = \prod_{k = 1}^{s} φ (p_{k}^{e_{k}}) \end{matrix}$

　　算术基本定理虽然很强大，但用它来求公约数或进行整数关系分析的代价太大，并且也很难得到进一步的结论，这时必须引入别的工具。在不做素数分解的情况下，分析整数关系最直观的方法就是带余除法，对任意整数 $a \neq 0, b$ ，存在唯一数对 $m, r$ 满足式子（8）。由 $r = b - m a$ 知 $a, b$ 的公约数必定是 $r$ 的约数，并且 $r$ 更小。如果继续对 $a, r$ 做这样的运算，我们一定可以得到 $a, b$ 的最大公约数。这便是辗转相除法的基本思想，早在欧几里得的《几何原本》中就有记载（故又称Euclid算法），熟悉算法的你一定也不陌生，这里就不展开细节了。

$\begin{matrix} (8) & b = m a + r, (0 ⩽ r < | a |) \end{matrix}$

　　带余除法为整数的分析提供了一个简单有效的方法。比如我们再回头考虑一下式（1）中的所有线性组合，首先 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 显然也是每个线性组合的约数。考察线性组合中的最小正数 $c$ ，如果它不是 $b_{k}$ 的约数，使用带余除法 $b_{k} = m c + r$ ， $r = b_{k} - m c$ 也是线性组合但却更小。所以 $c$ 是 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 的公约数，结合刚才的结论可知 $c = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 。

　　最大公约数可以看做是整数间的一个基本代数运算，我们已经看到有很多不同的途径来得到它，而这些途径并不依赖于最大公约数的定义。这就让我们想到，其实可以将它们看成是最大公约数的等价定义，在不同的场合灵活使用，可以得到更简洁的方法。以下便列举了这些等价定义，你可以尝试证明它们的等价性。

　　（1）原始定义：最大的公约数；

　　（2）约数的公倍数：是所有公约数的最小公倍数；

　　（3）素数基本定理：素数分解式的公共部分；

　　（4）线性组合：线性组合的最小正数；

　　（5）辗转相除法：辗转相除法得到的最小正数。

　　作为一个基本运算，需要稍微研究一下最大公约数的基本性质，请尝试通过不同途径证明下面的基本性质：

　　（1） $m (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (m a_{1}, m a_{2} \dots, m a_{n})$ ；

　　（2） $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = ((a_{1}, a_{2}), \dots, a_{n})$ ；

　　（3）若 $(m, a) = 1$ ，则有 $(a, m b) = (a, b)$ ；

　　（4）若 $m ∣ a b, (m, a) = 1$ ，则 $m ∣ b$ ；

　　（5）若 $a ∣ m, b ∣ m, (a, b) = 1$ ，则 $a b ∣ m$ ；

　　（6） $(a, b) [a, b] = a b$ 。

　　公约数虽然定义简单，但却变化多端，当和其它知识结合起来时，问题会变得很困难。你需要熟练掌握初等数学中各种变形技巧，并需要足够的想象力和创造力。课本中的习题是最好的锻炼场所，你不能绕过那一步，这里仅列几例以抛砖引玉。

　　• 已知 $a d - b c = \pm 1$ ， $u = a m + b n, w = c m + d n$ ，求证 $(u, w) = (m, n)$ ；

　　• $a$ 为奇数，则必有 $d < a$ 使得 $a ∣ 2^{d} - 1$ 。设这样数最小为 $d_{0}$ ，则 $a ∣ 2^{h} - 1$ 成立的充要条件是 $d_{0} ∣ h$ ；

　　• 证明梅森（Mersenne）数 $M_{p} = 2^{p} - 1$ 两两互素；

　　• 求证 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ 不是整数；（提示：构造一个整数与之相乘后不为整数）

　　• 若 $(a, b) = 1$ ，则对任意 $m$ ， $a + k b, k = 0, 1, 2, \dots$ 中有无数个与 $m$ 互质的数。（提示：无穷递降）

3. 闲话素数

　　话说素数的确非常重要，后面我们还会看到它更多的性质，这里再多说两句。首先，欧几里得在《几何原本》回答了素数的个数问题，假设仅有有限个素数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，考察表达式 $p_{1} p_{2} \dots p_{n} + 1$ 。它不以任何 $p_{k}$ 为约数，从而它也是素数，与假设矛盾，这就证明了素数有无穷多个。该证明使用了构造法和反证法，它的美妙是数学史上惊艳的一笔，你不妨可以用同样的方法解决以下问题。

　　• 相邻素数之间的间隔可以有任意大；

　　• 证明费马数 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ 的素因子互不相同，从而素数有无穷多个；

　　• 使用数列 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1, (a_{0} = 2)$ ，证明素数有无穷多个；

　　• 求证形如 $4 k + 3$ 的素数有无穷多个；

　　• 如果 $n ∣ (n - 1)! - 1$ ，则 $n$ 必为素数。

　　根据算术基本原理，并使用级数理论（后续课程），容易有以下著名的欧拉公式（式子（9））。这个神奇的公式将调和级数与所有素数扯上了关系，这也成为了研究素数的一个突破口，巍峨耸立的黎曼猜想就是对它的扩展研究。顺便提一句，因为调和级数是发散的，故由此此也可以证明素数有无穷多个。

$\begin{matrix} (9) & 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} + \dots = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{1}{p_{k}})^{- 1} \end{matrix}$

　　关于素数，还有一些自然的问题是：如何判定一个数是否为素数？如何找出一定范围内的所有素数？它们的分布是怎样的？是否有素数的通项公式？这些问题是很难回答的，它们也是数论的难点，很多问题都还没有被解决。古希腊时期的Eratosthenes筛法是目前仍在使用的筛选素数的方法，它逐步划去每个素数的倍数，从而仅余下素数，这在一般的算法教材里都有介绍。另外一般用 $π (x)$ 表示不大于 $x$ 的素数的个数，公式（10）是就是著名的素数定理，它表明了素数的平均密度。该定理最早由勒让德和高斯作为猜想提出，将近一百年后才被人用复变函数的理论所证明，再过了50年才有了初等证法。关于素数的问题我们就不深究了，它们也不是这里能回答得了的。