【实数系统】 04 - 连分数

合集 - 集合与数系(7)

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7.【实数系统】 04 - 连分数2014-12-02

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　　我们一直在不自觉地使用着十进制小数（decimal fraction）表示实数，小数运算方便、容易理解，让实数使用起来更加自如。但小数却不能提供更多关于实数本身的性质，尤其是对无理数、超越数的研究，小数表示完全无法胜任。有人会感到困惑，什么叫实数本身的性质？实数本身还有什么需要进一步研究的？比如说吧，无理数周边的有理数是如何分布的？超越数和其它无理数有什么本质区别？这些问题的回答都超出了本篇的范围，但我觉得可以从一个简单的入口来洞悉里面的世界，为今后的学习提供工具和精神上的准备。

1. 一般连分数

　　在正式给出定义之前，先来欣赏一下下面漂亮的表达式：

　　$\sqrt{2}+1=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots }}$

　　${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}$

　　${\displaystyle \frac{4}{\pi }}=1+\frac{1^2}{2+\frac{2^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{4^2}{\cdots }}}}$

　　${\displaystyle \frac{e-1}{e+1}}=\frac{1}{2+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\cdots }}}}$

　　$\sqrt{a^2+b}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\cdots }}}$

　　这里要介绍的就是连分数（Continued Fractions），它是实数的另一种表示方法，在数论等学科中有着很惊奇的应用。简单说连分数就是具有以下左边形式的表达式，其中$a_i,b_i$可以是任何数（甚至复数），省略号可以是有限或无穷的。右边的表达式叫一般连分数，如果$a_0$为整数、$a_k(k>0)$为正整数，它又叫简单连分数，本篇只介绍一般连分数和简单连分数。

$$a_0+\frac{b_0}{a_1+\frac{b_1}{a_2+\cdots }};a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots }}$$

　　这种书写方式虽然直观，但稍显繁琐，我们可以把一般连分数写成$[a_0,a_1,a_2,\cdots ]$。值得一提的是，有限连分数显然都是一个数，但无限连分数却还只是个记号，它能不能表示数还需要进一步的结论。另外，$s_k=[a_0,a_1,\cdots ,a_k]$称为连分数的节，$r_k=[a_k,a_{k+1},\cdots ]$称为连分数的余式，显然有下式成立：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& [a_0,a_1,a_2,\cdots ]=[a_0,a_1,\cdots ,a_{k-1},r_k]\end{array}$$

　　显然连分数的每个节$s_k$都可以展开为一般的分数形式${\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}$，它称为连分数的渐进分数（convergents），由数学归纳法可以推得如下公式。其中$p_{-2},p_{-1},q_{-2},q_{-1}$是补充进来的，它们可以使公式统一。这个公式非常漂亮，$p_k,q_k$居然独立地只与$a_k$相关，它是连分数理论的基本公式。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& p_k=a_k{p}_{k-1}+p_{k-2};(p_{-2}=0,p_{-1}=1)\end{array}$$

$$q_k=a_k{q}_{k-1}+q_{k-2};(q_{-2}=1,q_{-1}=0)$$

　　直觉可能已经告诉你，渐进分数可能是实数的一种逼近序列，研究渐进分数之间的关系就能知道这个逼近的趋势。将上式分别乘上$q_{k-1},p_{k-1}$并相减得到$p_k{q}_{k-1}-q_k{p}_{k-1}=p_{k-2}{q}_{k-1}-q_{k-2}{p}_{k-1}$，迭代计算得到公式（3），并进而有公式（4），用类似的方法和已有结论容易有公式（5）（6）。它们都表示了渐进分数的逼近情况，以后会经常用到。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& q_k{p}_{k-1}-p_k{q}_{k-1}=(-1{)}^k\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}-{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{q_k{q}_{k-1}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& q_k{p}_{k-2}-p_k{q}_{k-2}=(-1{)}^{k-1}{a}_k\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\displaystyle \frac{p_{k-2}}{q_{k-2}}}-{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{k-1}{a}_k}{q_k{q}_{k-2}}}\end{array}$$

　　你可能注意到，余式$r_k$完全可以当做$a_k$看待，所以可以有表达式（7）。这个表达式将余式和连分数的值联系了起来，对研究逼近很有用处。另外，结合公式（2）很容易得到以下有趣的表达式（8）。它们不仅漂亮，对今后的证明也都很有用。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& [a_0,a_1,a_2,\cdots ]={\displaystyle \frac{p_{k-1}{r}_k+p_{k-2}}{q_{k-1}{r}_k+q_{k-2}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle \frac{p_k}{p_{k-1}}}=[a_k,a_{k-1},\cdots ,a_0];{\displaystyle \frac{q_k}{q_{k-1}}}=[a_k,a_{k-1},\cdots ,a_1]\end{array}$$

2. 简单连分数

　　以上的讨论都是针对一般连分数进行的，得出的结论也都是关于表达式形式的。如果想得到关于值的性质，看来必须限制$a_k$的值，现在就假设$a_k$为正数（比简单连分数条件弱一些）。由公式（4）可知偶（奇）数项渐进分数是递增（减）的，而且奇数项皆大于偶数项。从图像上看感觉就是两条逐渐靠近的曲线，我们自然会问：它们会收敛于同一个值吗？对于有限连分数，答案是显然的，最后一项会等于分数值。但对于无限连分数，极限的知识告诉我们它们不一定相遇，所以还需要研究它们相遇的条件。

　　首先，渐进分数序列收敛时称连分数是收敛的，它本质上是说两条曲线收敛于同一值，该值称为连分数的值。容易看出连分数收敛和它的余式收敛是等价的，那么无穷连分数收敛的条件是什么呢？由公式（4）可知收敛的等价条件是$q_k{q}_{k+1}\to +\mathrm{\infty }$，下面来证它的充要条件是$\sum a_k$发散。先证必要性，即由极限为无穷证明级数发散。首先容易有$q_k>q_{k-2}$，从而$q_k>q_{k-1},q_{k-1}>q_{k-2}$有一个成立，结合公式（2）可有$q_k<{\displaystyle \frac{1}{1-a_k}}{q}_{k-1}$或$q_k<{\displaystyle \frac{1}{1-a_k}}{q}_{k-2}$。如果级数收敛，由级数理论可知$\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a_k)$有非零值，从而$q_k$有限，与极限为无穷矛盾，所以级数必收敛。再证充分性，即由级数发散可证极限为无穷。现由$q_k⩾q_{k-2}+c{a}_k$分别对奇偶项进行估值，合并有$q_k+q_{k+1}>c\sum _{i=0}^k{a}_i$，然后很容易有$q_k{q}_{k+1}\to +\mathrm{\infty }$。证明完成。

　　可以猜想，不同的连分数可能收敛到同一个实数，这样实数的连分数表示就没有唯一性。为达到唯一性，并获得更多的结论，从现在开始我们仅讨论简单连分数，并简称为连分数。连分数的$a_k$称为局部商（partial quotient），$a_0$可为负数，为保持结论的处处成立，我们再限定它必须非负，这并不影响结论对所有连分数的适用性。另外，对有限连分数有$[a_0,\cdots ,a_{n-1},1]=[a_0,\cdots ,a_{n-1}+1]$，连分数表示仍然不唯一，但容易证明，如果限制$a_n>1$，则实数有唯一的连分数表示（十进制小数表示也要剔除掉$\dot{9}$才有唯一表示）。

　　比较自然地可以想到，实数的唯一连分数表示可以用类似辗转相除的方法逐步得到。每次$a_k$取余式$r_k$的整数部分，余式的小数部分取倒数得到新的余式$r_{k+1}$，依次类推，比如由下表可得到$\pi =[3,7,15,1,292,1,\cdots ]$。显然有理数在有限步后余式为0，结束流程得到有限连分数，而无理数则会一直进行下去，得到无限连分数。

$r_0=3.1415926$	$r_1=7.0625$	$r_2=15.99659$	$r_3=1.0034$	$r_4=292.634$	$r_5=1.575$
$a_0=3$	$a_1=7$	$a_2=15$	$a_3=1$	$a_4=292$	$a_5=1$

　　由公式（7）可知$\alpha =[a_0,\cdots ,a_n,r_{n+1}]={\displaystyle \frac{p_k{r}_{k+1}+p_{k-1}}{q_k{r}_{k+1}+q_{k-1}}}$，其中$a_{n+1}⩽r_{n+1}<a_n+1$，从而得到渐进分数的误差估计公式（9）。该误差公式可以继续得到误差比较式（10）（11），即渐进分数越来越接近连分数的值。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\displaystyle \frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})}}<\left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|⩽{\displaystyle \frac{1}{q_k{q}_{k+1}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}}\right|<\left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \left|q_{k+1}\alpha -p_{k+1}\right|<\left|q_k\alpha -p_k\right|\end{array}$$

 

3. 逼近的度量

　　实数的连分数表示不依赖于进制，$a_k$的大小一定程度上表示了逼近的程度，它是研究无理数的有力工具。连分数的渐进分数可以由公式（2）递推得到，$p_k,q_k$都是整数，由公式（3）得到$p_k,q_k$又是互质的，所以公式（2）推导出的渐进分数都是既约分数。

　　关于用有理数逼近无理数，我们有这样一个基本问题：怎样用尽量小分母的分数来逼近已知无理数？这个问题不仅有实际应用价值，还能考察一个无理数的性质。首先我们可以有这样的粗略感觉，对选定的分母可有一个最逼近的分数，随着分母的递增，必然有某个分数更加逼近，然而这些分母之间可能是有间隔的。先对这样的逼近作一个明确的定义，对任意实数$\alpha$，若既约分数${\displaystyle \frac{n}{m}}$比任何分母不大于$m$的分数都更逼近$\alpha$，$\frac{n}{m}$称为$\alpha$的最佳逼近。即若$m^{\prime }⩽m$，$n^{\prime }$任意，则有表达式（12）。一个实数可能有很多的最佳逼近，它们分母递增，且值逐渐逼近$\alpha$直至收敛。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{n}{m}}\right|<\left|\alpha -{\displaystyle \frac{n^{\prime }}{m^{\prime }}}\right|\end{array}$$

　　由前面的分析知道，渐进分数逐步靠近收敛值，而且它们的分母也逐渐增大，那它们是不是就是我们要找的最佳逼近呢？答案让人惊喜，但也有点让人失望，渐进分数都是最佳逼近，但不是所有最佳逼近都是渐进分数。在得到更细致的结论之前，我们需要引入中位数的概念。分数${\displaystyle \frac{a+c}{b+d}}$称为${\displaystyle \frac{a}{b}}$和${\displaystyle \frac{c}{d}}$的中位数，容易证明它的值介于${\displaystyle \frac{a}{b}}$和${\displaystyle \frac{c}{d}}$之间（中位数定理）。

　　考察如下序列，它们和${\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}$之间都是中位数关系，所以这是一个单调序列，且位于收敛值的同一侧。这个序列如果再前进一步，就是${\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}$和${\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}$的中位数，同样推理，它必和${\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}$在同一侧。这个有趣的过程可以启发我们如何计算$a_k$，已知前两个渐进分数和收敛值$\alpha$时，可以在中位数跨越$\alpha$时确定$a_k$。

$${\displaystyle \frac{p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\displaystyle \frac{p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+q_{k-1}}},{\displaystyle \frac{p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},\cdots ,{\displaystyle \frac{p_{k-2}+a_k{p}_{k-1}}{q_{k-2}+a_k{q}_{k-1}}}={\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}$$

　　继续回到前面的问题，现在知道渐进分数和中位数分布在收敛值的两侧，且每侧都是单调的。每侧相邻两个分数可以表示为${\displaystyle \frac{P(r)}{Q(r)}}={\displaystyle \frac{p_{k}r+p_{k-1}}{q_{k}r+q_{k-1}}}$和${\displaystyle \frac{P(r+1)}{Q(r+1)}}$，它们的差为${\displaystyle \frac{1}{Q(r)Q(r+1)}}$，分子为1表明它们之间不可能有分母大于$Q(r+1)$的分数，否则该分数与${\displaystyle \frac{P(r)}{Q(r)}}$的差必然大于${\displaystyle \frac{1}{Q(r)Q(r+1)}}$。所以最佳逼近必然只能取渐进分数及其中位数，显然渐进分数必然是最佳逼近，但中位数就不一定是了，它甚至都不一定是既约分数。

　　仔细比较公式（10）和（11），（11）明显比（10）更严格，如果把公式（12）也换成较严格的条件，会发生什么呢？为区别这两种逼近，满足公式（12）的称为第一类型最佳逼近，而满足公式（13）的称为第二类型最佳逼近。第二类型的最佳逼近当然肯定也是第一类型的，反之则不一定成立，第二类型将剔除掉所有中位数，得到让我们心怡的结论。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \left|m\alpha -n\right|<\left|m^{\prime }\alpha -n^{\prime }\right|\end{array}$$

 　　证明的重点都在于对公式（4）（9）的深度理解，相邻连分数之间再也插不进比它们分母小的分数。如果第二类型最佳逼近${\displaystyle \frac{n}{m}}$在${\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}$和${\displaystyle \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}}$之间，它必然在${\displaystyle \frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}}$和${\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}$之间，所以$m>q_k$且$\left|m\alpha -n\right|<\left|q_k\alpha -p_k\right|<{\displaystyle \frac{1}{q_{k+1}}}$。而另一方面$\left|\alpha -{\displaystyle \frac{n}{m}}\right|⩾\left|{\displaystyle \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}}-{\displaystyle \frac{n}{m}}\right|⩾{\displaystyle \frac{1}{m{q}_{k+1}}}$，矛盾，所以第二类型逼近只能是渐进分数。反之如果$k>s$，则利用误差估计（9）有$|q_k\alpha -p_k|⩽{\displaystyle \frac{1}{q_{k+1}}}<q_s+q_{s+1}<|q_s\alpha -p_s|$，也就是说所有渐进分数都是第二类型逼近。所以除了特殊情况$\alpha =x.5$外，第二类型渐进逼近和渐进分数是等价的。

　　渐进分数可以寻找最佳的有理逼近，它可以被用于齿轮制造、日历编撰等，另外还可以求对数的近似值（想想怎么算？）。

　　渐进分数是实数的逼近表示，那么局部商$a_i$的大小能否说明什么呢？笼统地说，它表示渐进分数离实数究竟有多近，即可以用来度量逼近。如何度量一个有理数对实数的逼近程度？研究误差和分母的关系是一个比较可行的方法，根据公式（9）有关系式（14）。这个关系式是对所有渐进分数都成立的，欲构造单个无限接近该误差的连分数是很容易的，所以该式不能被加强。该结论有两个扩展结论：（1）相邻两个渐进分数必有一个满足（15）式；（2）相邻三个渐进分数必有一个满足（16）式。而且考察$[1,1,1,\cdots ]$可知，该结论已经不能再扩展。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|<{\displaystyle \frac{1}{q_k^2}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|<{\displaystyle \frac{1}{2q_k^2}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}{q}_k^2}}\end{array}$$

　　利用公式（9）容易得到以下估计式（17），该式说明了$a_k$越大，它所对应的渐进分数就“更好地”逼近连分数的值，而$[1,1,1,\cdots ]$则是最坏的数。关于逼近的度量还有很多结论，这里只是抛砖引玉，让大家有个概念，具体内容请参考相关资料。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p_k}{q_k}}\right|<{\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}{q}_k^2}}\end{array}$$

　　现在来看一个逼近度量的应用，由此窥见连分数理论在高等理论中的作用。考察$n$次代数数$\alpha$，设它满足有理系数多项式$f(x)=(x-\alpha )g(x)$。易证$g(\alpha )\ne 0$，取使$g(x)\ne 0$的区间，并设$\left|g(x)\right|>M$。在区间上讨论${\displaystyle \frac{p}{q}}-\alpha ={\displaystyle \frac{f({\displaystyle \frac{p}{q}})}{g({\displaystyle \frac{p}{q}})}}$，容易有$\left|{\displaystyle \frac{p}{q}}-\alpha \right|>{\displaystyle \frac{1}{M{q}^n}}$。进一步讨论既有刘维尔（Liouville）定理：对$n$次代数数$\alpha$，存在正数$C$使得（18）式总成立。该定理指出了代数数的有理逼近性质，可以用它来轻松构造超越数（取适当$a_k$），刘维尔用它构造了第一个超越数$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{10}^{-k!}$。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \left|\alpha -{\displaystyle \frac{p}{q}}\right|>{\displaystyle \frac{C}{q^n}}\end{array}$$

4. 循环连分数

　　十进制循环小数是有理数，你可能好奇循环（periodic）连分数会有什么性质呢？首先，模仿循环小数，我们把循环连分数记作$[a_0,\cdots ,a_{s-1},{\dot{a}}_s,a_{s+1},\cdots ,{\dot{a}}_k]$。对于循环连分数，在进入循环节后总有$r_k=r_{k+l}$，容易由归纳式得到一个二次方程，并进而知道该连分数是2次代数数。反过来，2次代数数的连分数，也必然是循环的，这个定理最初由拉格朗日证明。大概思路是考察余式的二次方程，发现它的系数有界，从而余式的个数有限，所以必然会出现循环。这里打算从另一个角度来证明这个定理，因为我们可以得到更多有趣的东西。

　　我们先从最简单的情况开始考虑，连分数$\alpha =[{\dot{a}}_0,\cdots ,{\dot{a}}_n]$称为纯循环连分数，并记$\beta =[{\dot{a}}_n,\cdots ,{\dot{a}}_0]$。考察由归纳公式形成的二次方程，并使用公式（8），容易证明$\alpha$和$\bar{\alpha }=-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$是同一整系数二次方程的根，它们互为共轭且满足条件（19）。容易知道二次代数数都有形式$r+s\sqrt{D}$，满足（19）的二次代数数称为既约的。可以证明$\alpha$的余式$r_1$也是即约的，也容易知道对某个$D$即约二次代数数是有限的，故必有某个余式满足$r_k=\alpha$，这就证明了即约二次代数数必是纯循环连分数。综合得到纯循环连分数和即约二次代数数是等价的。对于一般的二次代数数，用$\alpha$的表达式来表示$r_k$，可以证明它迟早会成为即约的，所以循环节必将出现，故循环连分数和二次代数数也是等价的。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \alpha >1,-1<\bar{\alpha }<0\end{array}$$

　　容易证明$\alpha =\sqrt{D}+a_0$是即约的（$a_0$为$\sqrt{D}$的首项），记$\alpha =[{\dot{2a}}_0,\cdots ,{\dot{a}}_n]$。由以上结论可有$\beta =-{\displaystyle \frac{1}{\bar{\alpha }}}=[{\dot{a}}_n,\cdots ,{\dot{2a}}_0]$，而$\beta ={\displaystyle \frac{1}{\alpha -2a_0}}=[{\dot{a}}_1,\cdots ,a_n,{\dot{2a}}_0]$，所以$a_1,\cdots ,a_n$对称。故有$\alpha =[{\dot{2a}}_0,a_1,a_2,\cdots ,a_2,{\dot{a}}_1]$，进而有表达式（20）。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \sqrt{D}=[a_0,{\dot{a}}_1,a_2,\cdots ,a_2,a_1,{\dot{2a}}_0]\end{array}$$

 

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【全篇完】