【实数系统】 03 - 极限

1. 实数基本定理

　　实数的构造理论为实数及其完备性奠定了严格的基础，但为了研究分析学的方便，我们需要更符合“直觉”的结论。在这之前，先来了解一些重要的概念。

　　对于一个基本序列，我们的直觉是它将逐渐逼近某个数，这个数一般称为数列的极限。极限的严格定义由维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出：一个实数列\(\{x_n\}\)如果满足条件(1)，则称它为收敛的（converge）或收敛于\(a\)，而\(a\)称为\(\{x_n\}\)的极限（limit），记作\(\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a\)或\(x_n\to a\)。容易证明极限如果存在，则必是唯一的。不收敛的数列称为是发散的（divergence），其中如果满足条件（2），也可以说成是极限为\(\infty\)，同样可以定义极限\(+\infty\)和\(-\infty\)。极限定义澄清了无穷的概念，而且可以更好地描述实数的连续性，它将成为我们的常用语言。

\[\forall\varepsilon>0\exists N(n>N\Rightarrow\left|{x_n-a}\right|<\varepsilon)\tag{1}\]

\[\forall E>0\exists N(n>N\Rightarrow\left|{x_n}\right|>E)\tag{2}\]

　　数列是关于自然数的函数，如果将定义域换成实数集，就成为我们所熟悉的一般意义上的函数。关于实数集，大家最熟悉的就是区间（开区间、闭区间、半开半闭区间），开区间\((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\)叫做\(a\)的\(\varepsilon\)-邻域（neighborhood），而\((x-\delta,x)\cup(x,x+\delta)\)叫\(x\)的去心\(\delta\)-邻域。类似地我们可以有函数的极限定义：若函数\(f(x)\)在\(a\)处满足条件（3），则称\(f(x)\)在\(a\)处收敛于\(A\)，记作\(\lim\limits_{x\to a}{f(x)}=A\)或\(f(x)\to A,(x\to a)\)。类似地可以有单侧极限\(x\to a^+,x\to a^-\)，以及无穷极限\(x\to+\infty,x\to-\infty\)。

\[\forall\varepsilon>0\exists\delta>0(\left|{x-a}\right|<\delta\Rightarrow\left|{f(x)-A}\right|<\varepsilon)\tag{3}\]

　　关于数列还有几个有用的概念，比如逐渐递增或递减的数列称为单调数列，数列中任取无穷个元素按原序组成的数列称为其子列。如果数列或实数集的所有数不大于\(M\)，\(M\)称为数列或实数集的上界，上界中的最小数称为上确界，记作\(\sup{X}\)。类似地有下界和下确界\(\inf{X}\)，同时有上界和下界的数列或数集称为是有界的（bounded）。若\(a\)的任何\(\varepsilon\)-邻域内都含有数集\(X\)的元素（不包含\(a\)），\(a\)称为\(X\)的聚点。闭区间序列\([a_n,b_n]\)如果满足\([a_0,b_0]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots\)，它称为区间套。能涵盖数集\(X\)的开区间集\(\sum\)称为它的覆盖，若数集\(X\)的任何覆盖都有有限子集能覆盖数集\(X\)，则\(X\)称为紧集。

　　有了这些基本概念，我们就来看看实数的基本定理，它们又叫实数连续性（continuuity）的基本原理。其中定理（3）（8）对函数也同时成立，相关定理请自行脑补。

　　（1）戴德金分割定理：实数集的戴德金分割的右集总有最小值；

　　（2）确界存在定理：有上（下）界的实数集必有上（下）确界；

　　（3）单调有界定理：单调有界的数列必收敛；

　　（4）区间套定理：至少有一个实数属于所有区间套；

　　（5）有限覆盖定理：闭区间是紧集。

　　（6）聚点定理：有界实数集至少有一个聚点；

　　（7）子列定理：有界数列必有收敛子列；

　　（8）柯西判定定理：实数基本序列收敛。

　　大部分定理都很“直观”，我们希望可以直接使用它们，而不是通过实数定义来证明。这样的要求并不过分，况且我们在上一篇中也已经证明了（1）或（8）是成立的。当抛开实数定义时，我们唯一的顾虑是：它们之间互相兼容吗？是否存在矛盾呢？答案是让人欣慰的，它们不仅兼容，甚至是等价的！也就是说以任何一个作为公理，都可以成功推导出其他7个定理。相信你已经明白我的意思了，现在我们就来构造一个推导环路，来串联这8个定理。

　　\((1)\Rightarrow(2)\)。若\(A\)有上界，定义分割\(X=\{x<a|a\in A\}\)，可以证明\(\overline{X}\)的最小值即为\(A\)的上确界。

　　\((2)\Rightarrow(3)\)。考察单调数列的确界，它就是数列的极限。

　　\((3)\Rightarrow(4)\)。闭区间的边界构成单调数列，且它们互为界限，则必有极限\(a,b\)，闭区间\([a,b]\)包含于任一个区间。

　　\((4)\Rightarrow(5)\)。假设不能有限覆盖，每次取有无限覆盖的那一侧，考察区间套的公共点，它必能被一个开区间覆盖，矛盾。

　　\((5)\Rightarrow(6)\)。假设实数集\(X\)没有聚点，考察能包含它的的闭区间\([a,b]\)，在区间上每一点\(y\)都可以取足够小的领域，使其不包含\(X\)除\(y\)之外的点。则这些领域中有限个可以覆盖\([a,b]\)，但它们仅包含有限个\(X\)中的点，这与\(X\)有无穷项矛盾。

　　\((6)\Rightarrow(7)\)。考虑集合元素组成的集合，它必有聚点，总可以选取一个收敛于聚点的子列。

　　\((7)\Rightarrow(8)\)。容易证明基本序列有界，它必有收敛子列，证明所有数都收敛到该子列的极限值。

　　\((8)\Rightarrow(1)\)。用中分法取一个逐渐靠近分割的数列，容易证明它是基本序列，证明它的极限即为右集的最小值。

　　这里选取的环是最讨巧的证明方法，你可以尝试其它路径，也许会有有趣的发现。有界集的聚点也必然是有界的，可以证明这些聚点的确界也是聚点，它们的上（下）确界也称为变量的上（下）极限，记作\(\overline{\lim},\underline{\lim}\)或\(\limsup,\liminf\)，有时用上（下）极限会使表达更简洁，这里就不展开说了。

2. 极限理论

　　接下来的内容将数列和函数合并讨论，为了论述方便统一用“变量”来表示它们。关于极限我们有三个层次的问题需要解决：（1）证明变量收敛于某个值；（2）判断变量的敛散性；（3）求变量的极限值。下面就从这三方面介绍一些常用方法和结论，有些方法技巧性很强，需要多加思考和练习，而某些结果被广泛应用，需要作为基本结论看待。

2.1 证明收敛

　　判断变量收敛于某个值往往出现于已经知道极限的情形，经常用于检验一些比较直观的结论，比如初等函数的极限值。还有一些场合，我们可以先猜测极限值，然后再用定义去证明。证明中会涉及到不少表达式变换和不等式，需要较好的综合素养，我打算另开课题介绍常用的等式和不等式。有时证明中还要用到极限的一些简单性质，比较常用的有以下4个。

　　• 收敛数列有界，收敛函数在足够小的领域内有界；

　　• 变量最终都会落在任一包含极限值的区间内；

　　• 变量四则运算的极限等于变量极限的四则运算；

　　• 复合函数的极限即是极限的函数值。

　　下面来几个习题来锻炼一下，请务必从极限定义出发来证明。作几点提示：（1）二项式定理是连接指数变量到幂变量的桥梁，要善用二项式定理产生合适的不等式；（2）均值不等式是把万能钥匙，随意尝试都会有神奇的效果；（3）熟练地使用极限的简单性质，对表达式做适当的缩放和限制。

　　• 证收敛：\(\sqrt[n]{a}\to 1\)，\(\sqrt[n]{n}\to 1\)，\((n+1)^k-n^k\to\infty(k>1)\)；

　　• 证收敛：\(\sqrt[k]{x}\to\sqrt[k]{a},(x\to a)\)；

　　• 已知\(x_n-x_{n-2}\to 0\)，求证\(\dfrac{x_n-x_{n-1}}{n}\to 0\)；

　　• 已知\(x_n\to a,y_n\to b\)，求证\(\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n{x_ky_{n-k}}}{n+1}\to ab\)；

　　• 求证\(x\to a\)充要条件是\(\ln x\to\ln a\)；

　　• \(a_n\to a\)，\(t_{nk}\geqslant 0\)，\(t_{nk}\to 0\)，\(\sum\limits_{k=1}^n{t_{nk}}=1\)，证明\(\sum\limits_{k=1}^n{t_{nk}a_k}=a\)。

　　两个比较特殊的极限是\(0\)和\(\infty\)，对应的变量称为无穷小（量）和无穷大（量），\(\infty-\infty,0\cdot\infty,\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty}\)型的极限计算称为不定型。无穷大（小）可以作为一个实在的数看待，但却不能用极限值简单替代，它必须含有趋势的性质，也就是说还有动态的概念。这样的话，两个无穷大（小）就不能仅根据极限值来进行比较，“变化趋势”也成为一个重要的参数。考察变量\(\dfrac{x}{y}\)，对以下三种情况分别定义无穷大（小）的阶。

　　（1）\(\dfrac{x}{y}\to 0\)，\(x,y\)对另一个变量称为低阶的或高阶的，记作\(x=o(y)\)；

　　（2）\(\dfrac{x}{y}\to A\)，\(A\)是有限非0数，\(x,y\)称为同阶的，记作\(x=O^*(y)\)；若\(A=1\)，\(x,y\)称为等阶的，记作\(x\sim y\)；

　　（3）\(\left|\dfrac{x}{y}\right|<A\)，\(A\)有限，记作\(x=O(y)\)。

　　初等函数具有以下大小关系，其中\(1<a<b,x\to\infty\)，\(m\ll n\)表示\(n\)是\(m\)的高阶无穷大。这些关系经常被用到，你可以作为练习自己证明。

\[{\log_b}x\ll{\log_a}x\ll x^a\ll x^b\ll a^x\ll b^x\ll x!\ll x^x\]

　　容易证明，等价变量在乘除法的极限运算中可以互相替换，这将大大简化计算。以下是常用的等价关系\((x\to 0)\)，它们更深入的结论将被泰勒公式彻底揭示，这里就不举例说明了。

　　• \(\sin{x}\sim\tan{x}\sim x\sim\arcsin x\sim\arctan x\)，\(1-\cos{x}\sim\dfrac{1}{2}x^2\)；

　　• \(\sum\limits_{k=0}^n{a_kx^k}\sim a_nx^n\)，\(\sqrt[k]{x^l+o(x^l)}\sim x^{\frac{l}{k}}\)；

　　• \((1+x)^a-1\sim ax\)，\(\ln{(1+x)}\sim e^x-1\sim x\)。

2.2 判断敛散性

　　我们的第二个任务是判断变量的敛散性，广义地讲这个问题有一定难度，但借助于一些结论我们可以解决某些类型的变量。这里就介绍几种常用的结论，有时候我们可以顺便得到极限值，但更多时候只能判断敛散性。

　　首先就是大家可能还有印象的夹逼法则，它是说如果\(x\leqslant y\leqslant z\)，且\(x\to a,z\to a\)，则\(y\to a\)。这个结论比较容易证明，它能解决的问题在形式上特点也很明显，变量在低阶的变化可以化简表达式，比如下面的问题：

　　• 求极限\(\sqrt[n]{\sum\limits_{k=1}^m{a_k^n}},(a_k>0)\)；

　　• 求极限\(\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}\)。

　　有些变量是累加型的，局部变量的变化趋势最终可以表现为累加量的趋势，这就是Stolz定理：\(y_n\)严格单调上升至\(+\infty\)，且\(\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}=A\)存在，则有\(\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{x_n}{y_n}}=A\)。证明本身是比较好的习题，你可以从定义出发试试。Stolz定理将变量的趋势转化为片段的趋势，它是L'Hospital定理的离散形式，很多时候能化腐朽为神奇，但其形式多变，要善于辨识和变换。一些无穷小数列以递推式出现，利用Stolz定理甚至可以计算它的等价无穷小。尝试一下下面的问题吧：

　　• 已知\(a_n\to a\)，求证\(\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n{a_k}}{n}\to a\)；

　　• 求证\(\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e\)；

　　• \(0<x_0<1\)，\(x_{n+1}=x_n(1-x_n)\)，求证\(nx_n\to 1\)；

　　• \(x_0>0\)，\(x_{n+1}=\sin{x_n}\)，求证\(\sqrt{\dfrac{n}{3}}x_n\to 1\)。

　　有时候我们并没有极限值作为参考，判断敛散性就只能借助单调有界定理和柯西判定定理（Cauchy's criteria）。单调有界定理的使用难点往往是单调性的证明，需要用到缩放、归纳等方法，针对某些递推式还可以顺便求得极限值。来思考几个问题：

　　• 证明收敛并求极限：\(x_{n+1}=\dfrac{3(1+x_n)}{3+x_n},(x_0>0)\)，\(\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots+\sqrt{c}}},(c>0)\)；

　　• 证明收敛：\(\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{1}{k^2}}\)，\(\prod\limits_{k=1}^n{(1+\dfrac{1}{2^k})}\)；

　　• \(u_0<v_0\)，\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_n+v_n)\)，\(v_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_n+2v_n)\)，求证\(\{u_n\},\{v_n\}\)收敛至相同值。

　　着重介绍一下数列\(x_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\)和\(y_n=(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}\)，同过二项式的缩放容易证明\(x_n\)单调递增而\(y_n\)单调递减，且互为彼此的上（下）界。所以它们都收敛于某一有限值，而由\(y_n=x_n(1+\dfrac{1}{n})\)可知它们的极限相等，一般记作\(e\)，它就是自然对数的底数，也称欧拉数。

　　另外，由\((1+\dfrac{1}{n})^n<e<(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}\)得到\(\dfrac{1}{n+1}<\ln{\dfrac{n+1}{n}}<\dfrac{1}{n}\)，进而可以证明\(\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{1}{k}}-\ln{n}\)收敛，收敛值称为欧拉常数\(\gamma\)。

　　使用\(x_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\)可以计算\(e\)的近似值，但它的收敛速度太慢。考察\(z_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{k!}}\)，同样用缩放方法可以得到\(x_n<z_n\leqslant e\)，故有\(z_n\to e\)。其实还容易得到以下误差估计，并且结合这个式子使用反证法，还可以证明\(e\)是无理数。

\[e=\sum\limits_{k=0}^n{\dfrac{1}{k!}}+\dfrac{\theta}{n!n},(0<\theta<1)\tag{4}\]

　　将以上结论推广到函数，也容易有\(e=\lim\limits_{x\to+\infty}{(1+\dfrac{1}{x})^x}\)。它们能很好地解决了一类极限\(1^\infty\)的值，来试试求下面的极限吧：

　　• \((\dfrac{n}{n+1})^n\)，\(n\ln{(1+\dfrac{1}{n})}\)。

　　容易证明柯西判定定理和极限的定义其实是等价的，它是变量收敛的充要条件，并且不依赖于未知的极限值。在其它方法都走不通时，那就求助于柯西判定定理吧。需要强调的是，不管是极限定义还是柯西判定定理，你都要能准确地说出其否定定理，毕竟大部分数列都是发散的。考虑以下习题：

　　• 证明调和数列之和发散：\(\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{1}{k}}\)；

　　• 已知\(\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}{n}\to a\)，求证\(\dfrac{x_n}{n}\to 0\)。

2.3 求极限

　　最后一个任务是求变量的极限，前面其实已经包含了不少求极限的问题，除此之外还有许多问题需要用综合的方法求解，来挑战一下下面的问题吧：

　　• 求极限：\(\prod\limits_{k=2}^n{\dfrac{k^3-1}{k^3+1}}\)，\(\prod\limits_{k=1}^n{\dfrac{2k-1}{2k}}\)；

　　• 求极限：\(\lim\limits_{x\to 1}{(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n})}\)；

　　• 已知\(x_n\to a,x_n>0\)，求\(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n{x_k}}\)。

　　证得这么辛苦，一定有人要问为什么要研究极限？向前看，你已经了解到它是无穷的一个精确模型，另外极限理论还揭示了实数的本质。向后看，目前还看不到，但可以告诉你，它是分析学的基础，是人们征服“连续”所迈出的第一步。而一定意义上“连续”是包含“离散”的，它是对世界的精确度量，所以连续有时还可以应用到离散场景，比如说分析数论。另外，紧接着的微积分课程就是从极限开始的，至于微积分的重要性就不用我强调了。如果向应用学科看，数值解和逼近理论也是极限的用武之地，用足够精确的近似值来替代准确值是工业生产中常见需求。看这个简单的递推数列\(x_{n+1}=\dfrac{1}{2}(x_n+\dfrac{D}{x_n})\)，容易证明\(x_n\to\sqrt{D}\)，所以这个递推式是求\(\sqrt{D}\)的一个很好的途径。类似的方法数不胜数，更多高级的应用要等到学完级数理论才能展开，级数是傅里叶变换的基础，而后者的大名想必大家并不陌生吧。