6.【实数系统】 03 - 极限2014-12-02

1. 实数基本定理

　　实数的构造理论为实数及其完备性奠定了严格的基础，但为了研究分析学的方便，我们需要更符合“直觉”的结论。在这之前，先来了解一些重要的概念。

　　对于一个基本序列，我们的直觉是它将逐渐逼近某个数，这个数一般称为数列的极限。极限的严格定义由维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出：一个实数列 ${x_{n}}$ 如果满足条件(1)，则称它为收敛的（converge）或收敛于 $a$ ，而 $a$ 称为 ${x_{n}}$ 的极限（limit），记作 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 或 $x_{n} \to a$ 。容易证明极限如果存在，则必是唯一的。不收敛的数列称为是发散的（divergence），其中如果满足条件（2），也可以说成是极限为 $\infty$ ，同样可以定义极限 $+ \infty$ 和 $- \infty$ 。极限定义澄清了无穷的概念，而且可以更好地描述实数的连续性，它将成为我们的常用语言。

$\begin{matrix} (1) & \forall ε > 0 \exists N (n > N \Rightarrow | x_{n} - a | < ε) \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & \forall E > 0 \exists N (n > N \Rightarrow | x_{n} | > E) \end{matrix}$

　　数列是关于自然数的函数，如果将定义域换成实数集，就成为我们所熟悉的一般意义上的函数。关于实数集，大家最熟悉的就是区间（开区间、闭区间、半开半闭区间），开区间 $(a - ε, a + ε)$ 叫做 $a$ 的 $ε$ -邻域（neighborhood），而 $(x - δ, x) \cup (x, x + δ)$ 叫 $x$ 的去心 $δ$ -邻域。类似地我们可以有函数的极限定义：若函数 $f (x)$ 在 $a$ 处满足条件（3），则称 $f (x)$ 在 $a$ 处收敛于 $A$ ，记作 $lim_{x \to a} f (x) = A$ 或 $f (x) \to A, (x \to a)$ 。类似地可以有单侧极限 $x \to a^{+}, x \to a^{-}$ ，以及无穷极限 $x \to + \infty, x \to - \infty$ 。

$\begin{matrix} (3) & \forall ε > 0 \exists δ > 0 (| x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - A | < ε) \end{matrix}$

　　关于数列还有几个有用的概念，比如逐渐递增或递减的数列称为单调数列，数列中任取无穷个元素按原序组成的数列称为其子列。如果数列或实数集的所有数不大于 $M$ ， $M$ 称为数列或实数集的上界，上界中的最小数称为上确界，记作 $sup X$ 。类似地有下界和下确界 $inf X$ ，同时有上界和下界的数列或数集称为是有界的（bounded）。若 $a$ 的任何 $ε$ -邻域内都含有数集 $X$ 的元素（不包含 $a$ ）， $a$ 称为 $X$ 的聚点。闭区间序列 $[a_{n}, b_{n}]$ 如果满足 $[a_{0}, b_{0}] \supset [a_{1}, b_{1}] \supset [a_{2}, b_{2}] \supset \dots$ ，它称为区间套。能涵盖数集 $X$ 的开区间集 $\sum$ 称为它的覆盖，若数集 $X$ 的任何覆盖都有有限子集能覆盖数集 $X$ ，则 $X$ 称为紧集。

　　有了这些基本概念，我们就来看看实数的基本定理，它们又叫实数连续性（continuuity）的基本原理。其中定理（3）（8）对函数也同时成立，相关定理请自行脑补。

　　（1）戴德金分割定理：实数集的戴德金分割的右集总有最小值；

　　（2）确界存在定理：有上（下）界的实数集必有上（下）确界；

　　（3）单调有界定理：单调有界的数列必收敛；

　　（4）区间套定理：至少有一个实数属于所有区间套；

　　（5）有限覆盖定理：闭区间是紧集。

　　（6）聚点定理：有界实数集至少有一个聚点；

　　（7）子列定理：有界数列必有收敛子列；

　　（8）柯西判定定理：实数基本序列收敛。

　　大部分定理都很“直观”，我们希望可以直接使用它们，而不是通过实数定义来证明。这样的要求并不过分，况且我们在上一篇中也已经证明了（1）或（8）是成立的。当抛开实数定义时，我们唯一的顾虑是：它们之间互相兼容吗？是否存在矛盾呢？答案是让人欣慰的，它们不仅兼容，甚至是等价的！也就是说以任何一个作为公理，都可以成功推导出其他7个定理。相信你已经明白我的意思了，现在我们就来构造一个推导环路，来串联这8个定理。

　　 $(1) \Rightarrow (2)$ 。若 $A$ 有上界，定义分割 $X = {x < a | a \in A}$ ，可以证明 $\overset{―}{X}$ 的最小值即为 $A$ 的上确界。

　　 $(2) \Rightarrow (3)$ 。考察单调数列的确界，它就是数列的极限。

　　 $(3) \Rightarrow (4)$ 。闭区间的边界构成单调数列，且它们互为界限，则必有极限 $a, b$ ，闭区间 $[a, b]$ 包含于任一个区间。

　　 $(4) \Rightarrow (5)$ 。假设不能有限覆盖，每次取有无限覆盖的那一侧，考察区间套的公共点，它必能被一个开区间覆盖，矛盾。

　　 $(5) \Rightarrow (6)$ 。假设实数集 $X$ 没有聚点，考察能包含它的的闭区间 $[a, b]$ ，在区间上每一点 $y$ 都可以取足够小的领域，使其不包含 $X$ 除 $y$ 之外的点。则这些领域中有限个可以覆盖 $[a, b]$ ，但它们仅包含有限个 $X$ 中的点，这与 $X$ 有无穷项矛盾。

　　 $(6) \Rightarrow (7)$ 。考虑集合元素组成的集合，它必有聚点，总可以选取一个收敛于聚点的子列。

　　 $(7) \Rightarrow (8)$ 。容易证明基本序列有界，它必有收敛子列，证明所有数都收敛到该子列的极限值。

　　 $(8) \Rightarrow (1)$ 。用中分法取一个逐渐靠近分割的数列，容易证明它是基本序列，证明它的极限即为右集的最小值。

　　这里选取的环是最讨巧的证明方法，你可以尝试其它路径，也许会有有趣的发现。有界集的聚点也必然是有界的，可以证明这些聚点的确界也是聚点，它们的上（下）确界也称为变量的上（下）极限，记作 $lim^{―}, lim_{―}$ 或 $lim sup, lim inf$ ，有时用上（下）极限会使表达更简洁，这里就不展开说了。

2. 极限理论

　　接下来的内容将数列和函数合并讨论，为了论述方便统一用“变量”来表示它们。关于极限我们有三个层次的问题需要解决：（1）证明变量收敛于某个值；（2）判断变量的敛散性；（3）求变量的极限值。下面就从这三方面介绍一些常用方法和结论，有些方法技巧性很强，需要多加思考和练习，而某些结果被广泛应用，需要作为基本结论看待。

2.1 证明收敛

　　判断变量收敛于某个值往往出现于已经知道极限的情形，经常用于检验一些比较直观的结论，比如初等函数的极限值。还有一些场合，我们可以先猜测极限值，然后再用定义去证明。证明中会涉及到不少表达式变换和不等式，需要较好的综合素养，我打算另开课题介绍常用的等式和不等式。有时证明中还要用到极限的一些简单性质，比较常用的有以下4个。

　　• 收敛数列有界，收敛函数在足够小的领域内有界；

　　• 变量最终都会落在任一包含极限值的区间内；

　　• 变量四则运算的极限等于变量极限的四则运算；

　　• 复合函数的极限即是极限的函数值。

　　下面来几个习题来锻炼一下，请务必从极限定义出发来证明。作几点提示：（1）二项式定理是连接指数变量到幂变量的桥梁，要善用二项式定理产生合适的不等式；（2）均值不等式是把万能钥匙，随意尝试都会有神奇的效果；（3）熟练地使用极限的简单性质，对表达式做适当的缩放和限制。

　　• 证收敛： $\sqrt[n]{a} \to 1$ ， $\sqrt[n]{n} \to 1$ ， $(n + 1)^{k} - n^{k} \to \infty (k > 1)$ ；

　　• 证收敛： $\sqrt[k]{x} \to \sqrt[k]{a}, (x \to a)$ ；

　　• 已知 $x_{n} - x_{n - 2} \to 0$ ，求证 $\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{n} \to 0$ ；

　　• 已知 $x_{n} \to a, y_{n} \to b$ ，求证 $\frac{\sum_{k = 0}^{n} x_{k} y_{n - k}}{n + 1} \to a b$ ；

　　• 求证 $x \to a$ 充要条件是 $\ln x \to \ln a$ ；

　　• $a_{n} \to a$ ， $t_{n k} ⩾ 0$ ， $t_{n k} \to 0$ ， $\sum_{k = 1}^{n} t_{n k} = 1$ ，证明 $\sum_{k = 1}^{n} t_{n k} a_{k} = a$ 。

　　两个比较特殊的极限是 $0$ 和 $\infty$ ，对应的变量称为无穷小（量）和无穷大（量）， $\infty - \infty, 0 \cdot \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 型的极限计算称为不定型。无穷大（小）可以作为一个实在的数看待，但却不能用极限值简单替代，它必须含有趋势的性质，也就是说还有动态的概念。这样的话，两个无穷大（小）就不能仅根据极限值来进行比较，“变化趋势”也成为一个重要的参数。考察变量 $\frac{x}{y}$ ，对以下三种情况分别定义无穷大（小）的阶。

　　（1） $\frac{x}{y} \to 0$ ， $x, y$ 对另一个变量称为低阶的或高阶的，记作 $x = o (y)$ ；

　　（2） $\frac{x}{y} \to A$ ， $A$ 是有限非0数， $x, y$ 称为同阶的，记作 $x = O^{*} (y)$ ；若 $A = 1$ ， $x, y$ 称为等阶的，记作 $x \sim y$ ；

　　（3） $| \frac{x}{y} | < A$ ， $A$ 有限，记作 $x = O (y)$ 。

　　初等函数具有以下大小关系，其中 $1 < a < b, x \to \infty$ ， $m ≪ n$ 表示 $n$ 是 $m$ 的高阶无穷大。这些关系经常被用到，你可以作为练习自己证明。

$\log_{b} x ≪ \log_{a} x ≪ x^{a} ≪ x^{b} ≪ a^{x} ≪ b^{x} ≪ x! ≪ x^{x}$

　　容易证明，等价变量在乘除法的极限运算中可以互相替换，这将大大简化计算。以下是常用的等价关系 $(x \to 0)$ ，它们更深入的结论将被泰勒公式彻底揭示，这里就不举例说明了。

　　• $\sin x \sim \tan x \sim x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ ， $1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$ ；

　　• $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \sim a_{n} x^{n}$ ， $\sqrt[k]{x^{l} + o (x^{l})} \sim x^{\frac{l}{k}}$ ；

　　• $(1 + x)^{a} - 1 \sim a x$ ， $\ln (1 + x) \sim e^{x} - 1 \sim x$ 。

2.2 判断敛散性

　　我们的第二个任务是判断变量的敛散性，广义地讲这个问题有一定难度，但借助于一些结论我们可以解决某些类型的变量。这里就介绍几种常用的结论，有时候我们可以顺便得到极限值，但更多时候只能判断敛散性。

　　首先就是大家可能还有印象的夹逼法则，它是说如果 $x ⩽ y ⩽ z$ ，且 $x \to a, z \to a$ ，则 $y \to a$ 。这个结论比较容易证明，它能解决的问题在形式上特点也很明显，变量在低阶的变化可以化简表达式，比如下面的问题：

　　• 求极限 $\sqrt[n]{\sum_{k = 1}^{m} a_{k}^{n}}, (a_{k} > 0)$ ；

　　• 求极限 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}$ 。

　　有些变量是累加型的，局部变量的变化趋势最终可以表现为累加量的趋势，这就是Stolz定理： $y_{n}$ 严格单调上升至 $+ \infty$ ，且 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = A$ 存在，则有 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = A$ 。证明本身是比较好的习题，你可以从定义出发试试。Stolz定理将变量的趋势转化为片段的趋势，它是L'Hospital定理的离散形式，很多时候能化腐朽为神奇，但其形式多变，要善于辨识和变换。一些无穷小数列以递推式出现，利用Stolz定理甚至可以计算它的等价无穷小。尝试一下下面的问题吧：

　　• 已知 $a_{n} \to a$ ，求证 $\frac{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}}{n} \to a$ ；

　　• 求证 $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \to e$ ；

　　• $0 < x_{0} < 1$ ， $x_{n + 1} = x_{n} (1 - x_{n})$ ，求证 $n x_{n} \to 1$ ；

　　• $x_{0} > 0$ ， $x_{n + 1} = \sin x_{n}$ ，求证 $\sqrt{\frac{n}{3}} x_{n} \to 1$ 。

　　有时候我们并没有极限值作为参考，判断敛散性就只能借助单调有界定理和柯西判定定理（Cauchy's criteria）。单调有界定理的使用难点往往是单调性的证明，需要用到缩放、归纳等方法，针对某些递推式还可以顺便求得极限值。来思考几个问题：

　　• 证明收敛并求极限： $x_{n + 1} = \frac{3 (1 + x_{n})}{3 + x_{n}}, (x_{0} > 0)$ ， $\sqrt{c + \sqrt{c + \dots + \sqrt{c}}}, (c > 0)$ ；

　　• 证明收敛： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ ， $\prod_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{2^{k}})$ ；

　　• $u_{0} < v_{0}$ ， $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + v_{n})$ ， $v_{n + 1} = \frac{1}{3} (u_{n} + 2 v_{n})$ ，求证 ${u_{n}}, {v_{n}}$ 收敛至相同值。

　　着重介绍一下数列 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 和 $y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ ，同过二项式的缩放容易证明 $x_{n}$ 单调递增而 $y_{n}$ 单调递减，且互为彼此的上（下）界。所以它们都收敛于某一有限值，而由 $y_{n} = x_{n} (1 + \frac{1}{n})$ 可知它们的极限相等，一般记作 $e$ ，它就是自然对数的底数，也称欧拉数。

　　另外，由 $(1 + \frac{1}{n})^{n} < e < (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ 得到 $\frac{1}{n + 1} < \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{1}{n}$ ，进而可以证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n$ 收敛，收敛值称为欧拉常数 $γ$ 。

　　使用 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 可以计算 $e$ 的近似值，但它的收敛速度太慢。考察 $z_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!}$ ，同样用缩放方法可以得到 $x_{n} < z_{n} ⩽ e$ ，故有 $z_{n} \to e$ 。其实还容易得到以下误差估计，并且结合这个式子使用反证法，还可以证明 $e$ 是无理数。

$\begin{matrix} (4) & e = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{θ}{n! n}, (0 < θ < 1) \end{matrix}$

　　将以上结论推广到函数，也容易有 $e = lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x}$ 。它们能很好地解决了一类极限 $1^{\infty}$ 的值，来试试求下面的极限吧：

　　• $(\frac{n}{n + 1})^{n}$ ， $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ 。

　　容易证明柯西判定定理和极限的定义其实是等价的，它是变量收敛的充要条件，并且不依赖于未知的极限值。在其它方法都走不通时，那就求助于柯西判定定理吧。需要强调的是，不管是极限定义还是柯西判定定理，你都要能准确地说出其否定定理，毕竟大部分数列都是发散的。考虑以下习题：

　　• 证明调和数列之和发散： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ ；

　　• 已知 $\frac{\sum_{k = 1}^{n} x_{k}}{n} \to a$ ，求证 $\frac{x_{n}}{n} \to 0$ 。

2.3 求极限

　　最后一个任务是求变量的极限，前面其实已经包含了不少求极限的问题，除此之外还有许多问题需要用综合的方法求解，来挑战一下下面的问题吧：

　　• 求极限： $\prod_{k = 2}^{n} \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1}$ ， $\prod_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{2 k}$ ；

　　• 求极限： $lim_{x \to 1} (\frac{m}{1 - x^{m}} - \frac{n}{1 - x^{n}})$ ；

　　• 已知 $x_{n} \to a, x_{n} > 0$ ，求 $\sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_{k}}$ 。

　　证得这么辛苦，一定有人要问为什么要研究极限？向前看，你已经了解到它是无穷的一个精确模型，另外极限理论还揭示了实数的本质。向后看，目前还看不到，但可以告诉你，它是分析学的基础，是人们征服“连续”所迈出的第一步。而一定意义上“连续”是包含“离散”的，它是对世界的精确度量，所以连续有时还可以应用到离散场景，比如说分析数论。另外，紧接着的微积分课程就是从极限开始的，至于微积分的重要性就不用我强调了。如果向应用学科看，数值解和逼近理论也是极限的用武之地，用足够精确的近似值来替代准确值是工业生产中常见需求。看这个简单的递推数列 $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{D}{x_{n}})$ ，容易证明 $x_{n} \to \sqrt{D}$ ，所以这个递推式是求 $\sqrt{D}$ 的一个很好的途径。类似的方法数不胜数，更多高级的应用要等到学完级数理论才能展开，级数是傅里叶变换的基础，而后者的大名想必大家并不陌生吧。