【集合论】 01 - 集合还要论？
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"不就是集合吗？高中就学过了。小样，别以为加个“论”字我就不认识你！"在我们的印象中，集合一直是数学的基础语言，任何一个分支都是由集合定义起的。殊不知，这一状况其实才几十年时间，集合论（Set Theory）的诞生也才一百年左右。你可能更没想到，集合论起始于对无穷的探索和思考，它还掀起了崭新的学科“数学基础”的建立。
集合和逻辑横跨于数学与哲学之间，但它们却如其它枝繁叶茂的应用分支一样，已经生成了错综复杂的根系，使得数学更加丰富，也更加稳固。作为一个小小程序员，我无力也无心去细致学习这个庞大而“无用”的学科。但鉴于其在数学上的地位和思想的重要性，我还是走马观花似得了解了它最简单的概念（不一定是最基本的），从中可以体验到近代数学的精神，建立科学的“数学观”。
但我们的故事却不能从集合论的诞生说起，而是要回到2000多年前的古希腊，那个数学华丽登场的年代。数学在古希腊超前的繁荣，毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的信条“万物皆数”充分表达了人们对数的敬仰。但那时的数仅仅指一般的整数，人们对无理数或涉及无穷的概念，一直都避而远之。著名的芝诺悖论（Zeno's Paradox）不仅表现出当时人们对无穷的含糊认识，同时也引发了对无穷长达2000多年的思考。阿基米德（Archimedes）在刻意回避无穷的情况下完成了初等的积分计算，将穷竭法发挥到了极致，但却无缘微积分的发现。牛顿（Newton）、欧拉（Euler）所处的17、18世纪有意地忽视无穷，促成了分析学的飞速发展和广泛应用，但随之人们的困扰也在增加。争论的焦点在于：无穷究竟是潜在的还是实在的，这个问题的答案也正是实数和极限概念所必需的。威尔斯特拉斯（Weierstrass）领导的分析严格化以极限形式定义了无穷小量，使得人们开始正视无穷。到了近代，人们才渐渐意识到：数学概念不一定是要可构造的，它还可以被创造，所以无穷也是可以被创造和定义的，一场公理化（Axiomatization）的风暴即将拉开序幕。
一切历史事件看起来是那样的必然，但最初却产生于偶然，我们的主人翁也是这样出场的。康托尔（Cantor）当时在研究三角函数展开的唯一性，研究的深入使他意识到了严格定义无理数的必要性，并由此转向了集合理论的构建。任何新思想的提出都会遭受同时代人的抵制，康托尔的恩师克罗尼克（Kronecker）也站在了集合论的对立面，再加上一些问题迟迟得不到证明，康托尔严重抑郁以致精神失常，最后凄惨地死于精神病院。但他却给数学带来了一场革命，那句“数学的本质在于它的自由”任然在激励着后人不断前行。
Cantor（1845 - 1918）
康托尔掀起的风暴变得越发猛烈，后继者们纷纷投入到这股漩涡中，趁着公理化大潮，这股洪流并入了“数学基础”的大洋之中，并成为其中最强有力的源头。公理化运动为集合论扫清了含糊的概念，使之成为一个经典的数学模型。而“数学基础”继续对逻辑和证明本身进行探讨，以挖地三丈的气势为数学寻求根基，甚至很多分支已经深入到了哲学的地界。“数学基础”的大洋里星光闪耀：罗素、策梅洛、冯·诺依曼、哥德尔、柯恩......，"数学基础"的成果也越发成熟：元数学、范畴轮、力迫法、大基数......。
至此，我们知道集合论已远非我们认识的样子，也远非一个程序员能触碰的。区区几段描述，连故事梗概都谈不上，有兴趣的可以到任何一本数学史中看到那浓墨重彩的一笔。再次重申，这里只是集合论里最简单的概念，它是“数学基础”的九牛之一毛，我只因无法忽视这座高峰的存在，抬头仰望了一眼而已。
【前序学科】数理逻辑
【参考资料】
[1] 《Set Theory（3rd）》，Thomas Jech，2006
这本大部头的专业著作涵盖了集合论的绝大部分内容，依然成为集合论的标准参考书，但不适合做入门书。
[2] 《Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof》，John Stillwell，2010
原本是个科普书，但在这位史学家笔下有了更多的专业性，既有趣又严谨，可以作为入门书。
[3] 《基础集合论》，董延闿，1988
讲解公理集合论基础，但不拘泥于公理形式。语言简练清晰，证明详尽，内容安排合理，国内集合论入门首选。
[4] 《选择公理》，赵希顺，2003
从选择公理的历史和原理讲起，进而深入到专业的内容，开头部分可作为很好的科普读物，后面的可作为专业参考书。
[5] 《无穷之旅：关于无穷大的文化史》（To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite），Eli Maor，1991
从不同角度和学科讲述无穷的概念，包括数字、几何、美学和宇宙。题材丰富，内容浅显易懂，休闲读物一本。
