《线性代数》随笔：勿忘初心
线性代数有多久神奇？问小学数学去。小学二年级的时候有一类题目让我记忆犹新，说是学校里买了4张桌子和6把椅子一共48块钱，如果买2张桌子和10把椅子一共要52块钱，问桌子多少钱一张，椅子多少钱一把？当时的解法想法讨巧，不知道现在的爸爸妈妈们还记不记得？
小学四年级，学了二元一次方程组，原来这道考试的附加题难道便下降为了普通计算题：
二元一次方程有一些标准的解法，比如代入法、消元法。它使我们可以完全只关心数字而不用再管它们的具体意义。问题的解决有了流程，因为任何一个这样的方程组我们按流程一步步走就可以了，不用再像二年级的时候那样挖空心思去想什么奇巧的方法。没错，这就是数学的意义，通过新的工具和方法，让原来的问题变得更加规范和容易。
二元一次方程的标准解法，让原来问题的难度从5星变成了2星，有没有更容易的方法，难度只有1星？不用到动任何脑子，只要加减乘除，不管是什么方程，一个公式搞定？研究数学的人都是天才，他们还真找到了这样的方法，这就是线性代数。它给我们提供了这样一个公式：
没错，只有加减乘除，不用动一点脑子，计算器按几下就可以得到答案。更加神奇的是，这个公式不只对二元一次方程组有用，对三元一次方程组、四元一次方程组以及随便多少元的一次程组统统有效。觉得公式计算量有点大么？没关系，有计算机啊，计算机最擅长的就是做这种不动脑子死算的事情了。
这种一次方程是我们生活中遇到的最多的，它又称为线性方程。线性代数就从线性方程组发展而来的一整套解题方法，它使我们可以无脑解决任意线性方程组。那么它是怎么做到的呢？这最好从线性代数是怎么来的说起。
对于线性代数的起源我没有作过考证，这不重要，不过要是让我来当这个编剧，剧本应该会是这样的。就像前面的桌子椅子的问题，生活会遇到许许多多类似投入一定数量的各种原料（钱也是原料之一），得到一定数量的各种产品，这些产品又作为原料再生产出下一级的产品的情况。比如我曾经玩过的一个农场的游戏，它的生产链是这样的：
最初级的产品是地里的农作物，它们无需原料，直接生产。如：小麦、玉米、甘蔗。
农作物可以做成动物饲料以生产动物产品。如：2小麦+1玉米＝1鸡蛋，1甘蔗+1玉米＝1红糖。
还有更高级的产品。如： 2鸡蛋+1红糖＝1曲奇。2红糖＝1白糖
有人想到可以把这些做成投入产出表：
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鸡蛋 |
红糖 |
|
|
小麦 |
2 |
0 |
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玉米 |
1 |
1 |
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甘蔗 |
0 |
1 |
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曲奇 |
白糖 |
|
|
鸡蛋 |
2 |
0 |
|
红糖 |
1 |
2 |
再偷懒省去了标题和网络线就写成了被现在称为矩阵的东西：
那么自然就会有人想，要生产1个曲奇要多少小麦、玉米和甘蔗，进一步又要问：要生产8个曲奇，10个白糖又要多少小麦、玉米和甘蔗呢？当然你可以把你所需要的曲奇和白糖先转换成鸡蛋和红糖的数量，再把鸡蛋和红糖分别转换成小麦、玉米和甘蔗的数量，最后相加就可以得到你要的结果。但是数学家不会这么想，他们无时无刻不在想有没有捷径可以一步到位。还真被他们发明出来了，那就是矩阵原来可以相乘：
也就是说1个曲奇需要4个小麦、3个玉米和1个甘蔗，1个红糖需要1个玉米和1个甘蔗，如果需要做8个曲奇和10个白糖，就可以这样把两个矩阵相乘：
共需要32个小麦44个玉米和28个甘蔗，公式发明出来了，虽然有点长，但好在只需要无脑死算加减乘除就行，有了计算机的帮助更是不在话下。数学家们很得意，他们开创了一个全新的数学领域，这个领域不同于以往的数学，一个公式只能求出一个数字，在线性代数的世界里，等号后面是一个矩阵，也就是许多数字的组合。而且这些公式不管投入和产出的产品种类有多少，永远都是正确的。想像这个农场游戏里可不只有这几样简单的东西，所有的产品加起来有上百种之多，每一种产品又是由几种其它的产品组合生产出来的。这样如果是用原来的方法一级一级的算出来求和，非把人算疯不可。但是用了矩阵乘法，要生产任何东西，不管多少，就是一个连续乘法：X ＝ N x … x D x C x B x A，扔给计算机做，简单优雅轻松愉快！
接下来的问题自然就来了，有了乘法，是不是应该有一个除法呢？或者说有一个倒数，在一个矩阵运算A x B = C里面知道了B和C，马上就知道A是什么。就这就一开始的二元一次方程组：
换成矩阵形式就是:
这在初等代数里是很容易实现，因为有除法和倒数。如果我们知道 5×X=10，X就一定是10÷5或者10×0.2，不会错。于是数学家们又开始开动脑筋，要找出线性代数里的除法或者倒数。最后，还真被他们找到了：
把它经过进一步的整理和化简，形成了一开始提到著名的N元一次方程组的万能公式！
人类终于完全征服所有的线性方程组，但线性代数的神奇还不止于此，更宏大的目标还在前方等着我们。
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