kmeans算法原理以及实践操作(多种k值确定以及如何选取初始点方法)
kmeans一般在数据分析前期使用，选取适当的k，将数据聚类后，然后研究不同聚类下数据的特点。
算法原理：
(1) 随机选取k个中心点；
(2) 在第j次迭代中，对于每个样本点，选取最近的中心点，归为该类；
(3) 更新中心点为每类的均值；
(4) j<-j+1 ,重复(2)(3)迭代更新，直至误差小到某个值或者到达一定的迭代步数，误差不变.
空间复杂度o(N)
时间复杂度o(I*K*N)
其中N为样本点个数，K为中心点个数，I为迭代次数
为什么迭代后误差逐渐减小：
SSE= 
对于
而言，求导后，当
时，SSE最小，对应第(3)步；
对于
而言，求导后，当
时，SSE最小，对应第(2)步。
因此kmeans迭代能使误差逐渐减少直到不变
轮廓系数：
轮廓系数（Silhouette Coefficient）结合了聚类的凝聚度（Cohesion）和分离度（Separation），用于评估聚类的效果。该值处于-1~1之间，值越大，表示聚类效果越好。具体计算方法如下：
- 对于每个样本点i，计算点i与其同一个簇内的所有其他元素距离的平均值，记作a(i)，用于量化簇内的凝聚度。
- 选取i外的一个簇b，计算i与b中所有点的平均距离，遍历所有其他簇，找到最近的这个平均距离,记作b(i)，即为i的邻居类，用于量化簇之间分离度。
- 对于样本点i，轮廓系数s(i) = (b(i) – a(i))/max{a(i),b(i)}
- 计算所有i的轮廓系数，求出平均值即为当前聚类的整体轮廓系数，度量数据聚类的紧密程度
从上面的公式，不难发现若s(i)小于0，说明i与其簇内元素的平均距离小于最近的其他簇，表示聚类效果不好。如果a(i)趋于0，或者b(i)足够大，即a(i)<<b(i)，那么s(i)趋近与1，说明聚类效果比较好。
K值确定
法1：(轮廓系数)在实际应用中，由于Kmean一般作为数据预处理，或者用于辅助分聚类贴标签。所以k一般不会设置很大。可以通过枚举，令k从2到一个固定值如10，在每个k值上重复运行数次kmeans(避免局部最优解)，并计算当前k的平均轮廓系数，最后选取轮廓系数最大的值对应的k作为最终的集群数目。
法2：(Calinski-Harabasz准则)
其中SSB是类间方差，
，m为所有点的中心点,mi为某类的中心点；
SSW是类内方差，
；
(N-k)/(k-1)是复杂度；
比率越大，数据分离度越大.
前提：
Duda-Hart test 看数据集是否适合分为超过1类
初始点选择方法：
思想，初始的聚类中心之间相互距离尽可能远.
法1(kmeans++):
1、从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2、对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3、选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5、利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法
从上面的算法描述上可以看到，算法的关键是第3步，如何将D(x)反映到点被选择的概率上，一种算法如下：
1、先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”
2、对于每个点，我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里，然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
3、然后，再取一个随机值，用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5、利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法
法2：选用层次聚类或Canopy算法进行初始聚类，然后从k个类别中分别随机选取k个点
，来作为kmeans的初始聚类中心点
优点：
1、 算法快速、简单;
2、 容易解释
3、 聚类效果中上
4、 适用于高维
缺陷：
1、 对离群点敏感，对噪声点和孤立点很敏感(通过k-centers算法可以解决)
2、 K-means算法中聚类个数k的初始化
3、初始聚类中心的选择，不同的初始点选择可能导致完全不同的聚类结果。
实践操作：
R语言
1、####################判断是否应该分为超过1类##########################
dudahart2(x,clustering,alpha=0.001)
2、###################判断使用轮廓系数或Calinski-Harabasz准则选用k值，以及是否使用大规模样本点处理方式##########################################
pamk(data,krange=2:10,criterion="asw", usepam=TRUE,
scaling=FALSE, alpha=0.001, diss=inherits(data, "dist"), critout=FALSE, ns=10, seed=NULL, ...)
3、############利用pamk求出来的k,用kmeans聚类####################
pamk.result <- pamk(data)
pamk.result$nc
kc <- kmeans(data, pamk.result$nc)
4、############画出k与轮廓系数关系，求出拐点值########################
# 0-1 正规化数据
min.max.norm <- function(x){
(x-min(x))/(max(x)-min(x))
}
raw.data <- iris[,1:4]
norm.data <- data.frame(sl = min.max.norm(raw.data[,1]),
sw = min.max.norm(raw.data[,2]),
pl = min.max.norm(raw.data[,3]),
pw = min.max.norm(raw.data[,4]))
## k取2到8，评估K
K <- 2:8
round <- 30 # 每次迭代30次，避免局部最优
rst <- sapply(K, function(i){
print(paste("K=",i))
mean(sapply(1:round,function(r){
print(paste("Round",r))
result <- kmeans(norm.data, i)
stats <- cluster.stats(dist(norm.data), result$cluster)
stats$avg.silwidth
}))
})
plot(K,rst,type='l',main='轮廓系数与K的关系', ylab='轮廓系数')
5、层次聚类得出k-means初始点
iris.hc <- hclust( dist(iris[,1:4]))
# plot( iris.hc, hang = -1)
plclust( iris.hc, labels = FALSE, hang = -1)
re <- rect.hclust(iris.hc, k = 3)
iris.id <- cutree(iris.hc, 3)######得出类别##########
6、################采用kmeans++选用k个初始点##################################
n<-length(x)
seed<-round(runif(1,1,n))
for ( i in 1:k){
if(i==1){ seed[i]<- round(runif(1,1,N)) }
dd<-0
tmp<-0
for(s in 1:n)
{
m<-length(seed)
for (j in 1:m) {
if(j==1){ tmp<-dist(x[s],seed[j]) }
else
{
tmptwo<-tmp
tmp<-dist(x[s],seed[j])
if(tmp>tmptwo)tmp<-tmptwo
}
}
dd[s]<-tmp
}
sumd<-sum(dd)
random<--round(runif(1,0, sumd))
for(ii in 1:n)
{
if(random<=0){break};
else{
random<-random-dd[ii]
}
}
seed[i+1]<-ii
}
