数学基础之概率
本文主要介绍概率与数理统计中的一些常见的基本概念。
样本空间
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但是试验的所有可能结果集合是已知的，我们将随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的的元素，即E的每个可能结果，称为样本点。比如事件E：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况，S={H，T}。
频率(Frequency) 概率(Probability)
频率描述了事件发生的频繁程度，一般采用多次试验的结果得到。
概率描述的是一次试验中，事件发生的可能性大小。
如果试验的次数足够多，频率将在一定意义下接近于概率。
条件概率(Conditional Probability)
设A，B是两个事件，且P(A)>0，称：
$\large P(B|A) = \frac {P(AB)}{P(A)}$
为事件A发生的条件下事件B发生的概率。
乘法定理（Product rule）
设P(A)>0，则：
$\large P(AB)=P(B|A)P(A)$
$\large P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$
这个定理也很容易推广到多个事件的情况
加法定理(Sum rule)
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，$B_1$，$B_2$，$\ldots$，$B_n$为S的一个划分，且 $P(B_i)>0$，则：
$\large P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \ldots + P(A|B_n)P(B_n) $
贝叶斯公式(Bayes' theorem)
$\large P(B_i|A) = \frac {P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$
先验概率(Prior probability) 后验概率(Posterior probability)
例子：某种设备，调整良好时，产品合格率为90%，发生故障时，合格率为30%，每天早上开工时，设备调整良好的概率为75%，已知早上第一件产品是合格品，问设备调整良好的概率是多少？如果定义事件A为产品合格，事件B为设备调整良好，显然有P(A|B)=0.9，P(A|B')=0.3，P(B)=0.75，P(B')=0.25，要求的是P(B|A)。P(B)称为先验概率，是根据以往的经验数据得到的，P(B|A)是得到了第一件产品为合格品之后对P(B)做的修正，称为后验概率，后验概率让我们对设备的情况有了更进一步的了解。
独立事件
如果A，B两个事件满足
$\large P(AB)=P(A)P(B)$
称A，B为互相独立的事件。这个式子也很容易推广到多个事件的情况。
随机变量
如果将随机试验的结果数量化，比如抛硬币，用 1 代表正面，用 0 代表反面。如果将这个数量化的结果用一个变量X表示，X就是随机变量，根据实验结果的不同而不同。正规的定义是：设E是随机试验，样本空间是S={e}，如果对于每一个e属于S，都有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X=X(e)，称为随机变量。如果X能取到的值是有限个或者可列无限个，则X称为离散性随机变量。
概率分布
如果离散性随机变量X的所有取值为 $x_k(k=1,2,...)$，X取各个值得概率为：
$\large P\{ X=x_k \}=p_k$
称为离散性随机变量X的概率分布或者分布律。
分布函数(Cumulative distribution fucntion)
对于非离散性随机变量X，其可能的取值不能一一列举出来，所以不能用像离散性随机变量那样用分布律来吗描述，为此引入随机变量分布函数的概率。
设X是一随机变量，x是任意实数，函数：
$\large F(x) = P \{ X \leq x \}$
称为X的分布函数。虽然对离散性随机变量，可以完全用分布律来描述，但为了数学上的统一，定义了对离散性随机变量和非离散性随机变量都适用的分布函数。
连续性随机变量 概率密度(Probability density function)
如果随机变量X的分布函数是F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有：
$\large F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt $
则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
概率密度具有以下性质：
（1）$\large f(x) \geq 0 $
（2）$\large \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$
（3）$\large P \{ x_1 < X \leq x_2 \} = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx $
期望(Expectation)
设离散性随机变量X的分布律为：
$\large P\{ X=x_k \}=p_k$
如果级数
$\large \sum_{k=1}^{\infty}x_k p_k $
绝对收敛，则称为随机变量X的期望。记作E(X)。
对于连续性随机变量X的概率密度为f(x), 期望为：
$\large \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
如果有函数Y=g(x)，则Y的期望为：
$\large \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$
期望又称均值。
方差(Variance)
设X是一个随机变量，如果$E\{[X-E(X)]^2\}$存在，则称为X的方差，记为D(X)或者Var(X)。
方差可以按照公式 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $计算。
方差开方$\sqrt {D(x)}$记为 $\sigma(X)$，称为标准差或者均方差。
矩
设X是随机变量
X的k阶原点矩：$E(X^k)$
X的k阶中心矩：$E\{ [X-E(X)]^k\}$
显然X的期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩
常见概率分布
0-1分布 伯努利分布(Bernoulli distribution)
离散性随机变量的概率分布，随机变量X只能取0和1两个值，它的分布律是
$\large P\{ X=k \} = p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1$
$E(X) = p$, $D(X) = p(1-p)$
二项分布(Binomial distribution)
随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，例如重复抛n次硬币，出现正面的次数。X的分布律是：
$\large P\{ X=k \} = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2,...,n$
$E(X) = np$, $D(X) = np(1-p)$
泊松分布(Poisson distribution)
设随机变量X所有的可能取值为0,1,2,...,而取各个值得概率为
$\large P\{ X=k \} = \frac {\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,...$
则称X服从参数为 $\lambda$的泊松分布。
$E(X) = \lambda$, $D(X) = \lambda$
在实际事例中，当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。因此，泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。例如：
（1）某一服务设施在一定时间内到达的人数
（2）电话交换机接到呼叫的次数
（3）汽车站台的候客人数
（4）机器出现的故障数
（5）自然灾害发生的次数
（6）一本书一页中的印刷错误
（7）显微镜下单位分区内的细菌分布数
（8）某放射性物质单位时间发射出的粒子数
（9）某地区一天内丢失的邮件数
（10）某医院一天内的急诊人数
均匀分布(Uniform distribution)
设连续性随机变量X具有概率密度
$\large f(x) = \left \{ {\frac {1} {b-a}, \qquad a<x<b, \atop 0, \qquad \text{其他}} \right.$
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布
$E(X)=\frac {a+b}{2}$, $D(X)=\frac {(b-a)^2}{12}$
正态分布(Normal distribution, Gaussian distribution)
设连续性随机变量X的概率密度为：
$\large f(x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, -\infty < x < \infty $
则称X服从参数为 $\mu$, $\sigma$的正态分布，正态分布又叫高斯分布。
$E(X)=\mu$, $D(X)=\sigma^2$
大数定理
随机试验中，随着试验次数的增加，人们发现事件发生的频率逐渐稳定于某个常数（想想抛硬币的例子），在实践中，人们还认识到大量测量值的算数平均值也具有稳定性，这种稳定性就是大数定理的客观背景。这里我们介绍其中的一个大数定理：
辛钦定理
设随机变量$X_1,X_2,\ldots,X_n$相互独立，服从同一分布(independent and identically distributed, i.i.d.)，且具有相同的数学期望，$E(X_k)=\mu$，则：
$\large \lim_{n \to \infty} P \{ |\frac {1} {n} \sum_{k=1}^{n} X_k - \mu |<\varepsilon \} = 1$
中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量相互独立的随机因素的综合影响形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。这里只介绍独立同分布的中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量$X_1,X_2,\ldots,X_n$相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望，$E(X_k)=\mu$ 和相同的方差 $D(X_k)=\sigma^2 \neq 0$，则随机变量：
$\large Y_n = \frac {\sum_{k=1}^{n} X_k - E(\sum_{k=1}^{n} X_k)}{\sqrt {D(\sum_{k=1}^{n} X_k)}} = \frac {\sum_{k=1}^{n} X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$
在n很大时趋近于标准正态分布。
当这些随机变量不是服从同一分布的时候，他们的和在n很大时仍然服从正态分布，这就是正态分布为什么概率中特别重要的原因。在很多问题中，所考虑的随机变量可以表示成很多独立的随机变量之和，例如，在任一指定时刻，一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和，一个物理实验的测量误差是许多观察不到的，可加的微小误差所合成的，他们往往近似的服从正态分布。
参数估计
点估计
设总体X的分布函数形式已知，但有一个或者多个未知参数，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
例子：设总体 X 的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$均未知，已知$X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是一个样本，估计均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$
矩估计
分别计算样本矩和总体矩的前k阶矩，利用样本矩依概率收敛于总体矩的性质，构造相应的方程组，用方程组的解作为参数的估计量，这时候的估计量称为矩估计量。
用矩估计法解上面的例子：
易知总体矩：
$\large \mu_1 = E(X) = \mu $
$\large \mu_2 = E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = \mu + \sigma^2 $
计算样本矩：
$A_1 = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline {X} $
$A_2 = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 $
联立方程组
$A_1 = \mu_1 $
$A_2 = \mu_2 $
解得：
$\large \hat{\mu} = \overline {X} $
$\large \hat {\sigma^2} = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline {X})^2$
最大似然估计(Maximum likelihood)
设总体X属于离散性，其分布律为 $P(X=x)=p(x;\theta)$，形式已知，但参数$\theta$未知。已知$X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是一个样本，则$X_1,X_2,\ldots,X_n$的联合分布律为：
$ \large \Pi_{i=1}^{n}p(x_i;\theta)$
设$x_1,x_2,\ldots,x_n$是相应于样本$X_1,X_2,\ldots,X_n$的一个样本值，已知样本取到$x_1,x_2,\ldots,x_n$的概率为，也即事件 $\{ X_1=x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\}$ 发生的概率为：
$\large L(\theta) = L(x_1,x_2,\ldots,x_n;\theta) = \Pi_{i=1}^{n}p(x_i;\theta) $
这一概率随 $\theta$的变化而变化，是$\theta$的函数，称为样本的似然函数。
用使似然函数取得最大值的$\theta$作为原分布律未知参数的估计值，称为极大似然估计值。
当总体X属于连续型时，考虑的是样本$X_1,X_2,\ldots,X_n$ 落到$x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的领域内的概率，和离散性的表达形式一样。
用最大似然估计解上面的例子
X的概率密度为：
$\large f(x; \mu,\sigma^2) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$
似然函数为：
$\large L(\mu, \sigma^2)=\Pi_{i=1}^{n} \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$
取对数，然后分别对 $\mu$, $\sigma^2$求偏导数，并令偏导数为0，解得：
$\large \hat{\mu} = \overline {X} $
$\large \hat {\sigma^2} = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline {X})^2$
和用矩估计法求得的估计值完全相同。
估计量的评选标准
评价一个估计量的好坏，有很多常用的标准，这里只介绍最常用的两个标准，无偏性和有效性。
无偏性
如果估计量$\hat {\theta}=\hat {\theta}(X_1, X_2, \ldots, X_n)$的期望存在，而且有：
$\large E(\hat{\theta}) = \theta $
则称$\hat {\theta}$为$\theta$的无偏估计量。
检验上面例子中的估计值：
$\large E(\hat {\sigma^2}) = \frac {n-1}{n} \sigma^2 \neq \sigma^2 $
所以估计量$\hat {\theta}$是有偏的。
有效性
设估计量$\hat {\theta_1}=\hat {\theta_1}(X_1, X_2, \ldots, X_n)$和估计量$\hat {\theta_2}=\hat {\theta_2}(X_1, X_2, \ldots, X_n)$都是$\theta$的无偏估计量，如果：
$\large D(\hat {\theta_1}) < D(\hat {\theta_2})$
则称 $\hat {\theta_1} $比$\hat {\theta_2} $有效。
练习题
最后附上CMU的一套简单测试题，可以用来你是否具备学习机器学习入门的数学基础。
参考资料
[1]: 概率论与数理统计 高等教育出版社
[2]: Pattern Recognition and Machine Learning Chapter1, Chapter2, Appendix B
