斜率优化
首先
对于形如\(f[i]=min(f[j]+cost[j]),0<j<i\)的\(dp\)，
我们可以利用维护一个变量取最小值去维护这个\(dp\)方程。
再者；
对于形如\(f[i]=min(f[j]+cost[j]),i-k<j<i\)的\(dp\)，
我们可以发现，只用维护一段序列中的最小值即可。。
这时候，由于决策具有单调性，我们可以利用单调性来维护，
只用，利用单调队列来维护区间最值即可。
可是，对于形如:
\(f[i]=min(f[j]+cost[i][j]),0<j<i\)
我们应该如何去维护呢？？？
如果延用上面的单调性去维护的话，我们会面临一个尴尬的境界，
我们发现，\(cost[][]\)函数与\(i,j\)都有关。
无法利用单调性来维护。
怎么办呢。。。。
现在，让我们来请出最后最强大的方法。
斜率优化
斜率优化是对于形如\(f[i]=min(f[j]+cost[i][j]),0<j<i\)的方程的优化。
可以把复杂度由本来的\(O(n^2)\)优化到\(O(n)\)或\(O(nlogn)\)的复杂度。
决策单调性
首先，对于斜率优化的方程，先进行证明决策单调性。
对于形如，\(f[i]=min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])\)的方程，决策点一定具有单调性。
首先，\(a[x],b[x],c[x],d[x]\)是关于\(x\)的函数，且\(b[x]\)单调递增。
首先假设\(k<j\)且\(f[j]<=f[k]\)；
即决策\(j\)比\(k\)更优；
即
\(a[i]*b[j]+c[j]+d[i]<=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]\cdots (1)\)
下面有一个新的待决策点\(a[i+1]\)
设\(a[i+1]=a[i]-v\),即\(a[i]\)单调递减。
我们要证下列式子
\(a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1]<=a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1]\)
\((a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1]<=(a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1]\)
\(a[i]*b[j]-v*b[j]+c[j]<=a[i]*b[k]+c[k]-v*b[k]\)
\(a[i]*b[j]+c[j]-v*b[j]<=a[i]*b[k]+c[k]-v*b[k]\)
由于\(b[]\)单调递增->\(v>0\)；
我们又有\((1)\);
所以，可证在\(k<j\)且决策点\(j\)比决策点\(k\)更优的情况下。
决策点\(k\)一定不会在有用，因此，
决策具有单调性
我们将前面的式子展开得到
\(a[i]*(b[j]-b[k])<=c[k]-c[j];\)
\(-a[i]<=\frac {c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}\)
\(S(k,j)=\frac {c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}\)
- 我们可以发现，关于对于队首，若\(-a[i]<=S(Q[L],Q[L+1])\),则说明决策\(Q[L]\)比决策\(Q[L+1]\)无用，可以\(pop\)掉。
- 对于队尾，若有\(S(Q[R-1],Q[R])<S(Q[R],i)\),则说明若决策点\(Q[R-1]\)被\(pop\)掉了后，决策点\(Q[R]\)一定会被\(pop\)掉，则可以直接把\(Q[R]\)给\(pop\)掉。
关于何时\(pop\)队首，我们要考虑一下。
- 若斜率\(a[i]\)单调，直接按斜率\(pop\)即可。。
- 否则，我们无法\(pop\)队首，则需要在队列里二分寻找最优值。
证毕。。。
