[数学] 线性代数中行列式的意义

我们可以从一个角度去理解线性代数中行列式的意义，即是变换前后尺度的变换的比例，这个尺度在一维情况可以理解为是长度，在二维情况可以理解为是面积，在三维情况可以理解为是体积...

具体而言
1.一维的行列式，那自然就是一个数，这个好理解，如果一个变换的行列式是 5， 那么这个变换本身也就是5，施加5给一个什么东西，其实就是乘以5，那么最后尺度的变换自然也就是5倍比例。
2.二维行列式，那就是一个可以想象成一个2X2的形式，可以想象成是二维空间里一个线性变换前后的面积比。
3.三维行列式，就是体积比。

所以，如果一个行列式的值为0，代表这个行列式无论施加给谁，变换后的面积/体积都是0。因此这样的变换肯定是把原来东西往一个更低维度的东西去变换，也叫做退化变换，我们就称这个变换是退化的。具体体现就是，把一个三维的东西变成了一维或者二维。

因此，行列式值为0，也代表这个变换是不可逆的，因为如果三维变成了二维，那么可以视为有一个维度被压缩了，并且是压缩成0了。所以经过了这个变换以后，再也找不到这个维度原来的信息，无法实施逆变换。更好理解的方式是在一维里去思考，也就是如果5施加5的变换，那么得到25，25施加5的逆变换也就是乘以1/5得到5，但是如果5施加0的变换，得到0，0再也无法通过变换得到5.

ok小结一下，行列式的一个意义是一种变换前后尺度的变换大小，如果一个变换是退化的，代表变换后维数下降了。变换可以将一个维数压缩成0，但却不能讲0恢复成一个新的维度，因此有可逆变换和不可逆变换之分，相对应的就是可逆矩阵和不可逆矩阵。

从这一点出发，可以帮助我们理解一些矩阵的运算法则，例如如下图所示的关于方阵的运算性质，首先为什么限定是方阵，这是因为如果不是方阵，那么这个矩阵一定是奇异的，即从行或列的角度来看，压缩了某一个维度，使得变换前后的面积（或体积等其他尺度，下同）比为0。

其次，对于矩阵A和他的转置，他们本质上是坐标的顺序更换了一下，而我们可以理解成改变坐标的名称不影响实际的面积变换。
第三两个变换的乘积的行列式等于他们的行列式的乘积，这点也好理解，因为两个变换连续实施，对于面积来说就是两次尺度的变换，这两次尺度的变换的总效果就是两次独立的变换尺度的乘积。
第四，变换乘以常数倍，其行列式是常数倍的n次幂乘以变换，这也好理解，因为面积的计算是2次的，体积的计算就是3次了啊，也就是说，长宽增长两倍，面积就会增长四倍，而长宽高都增长两倍，那么体积就会增长8倍！