大牛生小牛的问题的讨论

引子：在jillzhang那里看到大牛小牛问题，觉得很有趣，回去研究分析一下，发现很好玩。
问题：
     一只刚出生的小牛，4年后生一只小牛，以后每年生一只。现有一只刚出生的小牛，问20年后共有牛多少只？

研究完，发现这是一个变形的Fibonacci数列。
首先，要分清楚第一年和1年后是不同的。第一年等于0年后，所以条件是4年后即第五年生一只小牛。
注意，这个条件理解不一样可是会得出不同的结果的。
设n年后，牛共有S(n)头则可以推出:S(n）=S(n-1)+S(n-4)。
推导过程如下：
n年后的牛的年龄为n岁，设0，1，2，3岁的牛（均为无生育能力）的个数分别为a(n),b(n),c(n),d(n)，大于等于4岁的牛的个数为k(n)。注意：这里0岁指小牛刚出生。
则n年后S(n)=k(n)+a(n)+b(n)+c(n)+d(n)----------------------等式1
则n+1年后
0岁的小牛个数d(n+1)=k(n+1)  //注意这里：事实上，1年后包括刚到4岁的牛都会立即生下一个小牛。
1岁小牛个数为c(n+1)=d(n)
2岁小牛个数为b(n+1)=c(n)
3岁小牛个数a(n+1)=b(n)
大于等于4岁的牛的个数为k(n+1)=k(n)+a(n)
总牛数：S(n+1)=k(n+1)+a(n+1)+b(n+1)+c(n+1)+d(n+1)
                      =(k(n)+a(n))+b(n)+c(n)+d(n)+k(n)+a(n)=S(n)+k(n)+a(n)

所以 k(n)+a(n)=S(n+1)-S(n)=k(n+1)由此

k(n)=S(n)-S(n-1)

所以

d(n)=k(n)=S(n)-S(n-1)
c(n)=k(n-1)=S(n-1)-S(n-2)
b(n)=k(n-2)=S(n-2)-S(n-3)

a(n)=k(n-3)=S(n-3)-S(n-4)

上面各式相加有： a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=S(n)-S(n-4)

a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=S(n)-k(n)  (有等式1可得）

故k(n)=S(n-4)=S(n)-S(n-1)

所以S(n)=S(n-1)+S(n-4)

上面格式相加有S(n)=S(n-1)+S(n-4)
S(n)=S(n-1)+S(n-4), (n>=4) 其中S(0)=S(1)=S(2)=S(3)=1

程序实现(递归算法)：

 

        //y指y年后小牛个数
        public static int getCount(int y)
        {
            if (y < 4)
            {
                return 1;
            }
            else
            {
                return getCount(y - 1) + getCount(y - 4);
            }
        }

递推算法：

 //递推算法,y指y年后小牛个数
        public static int getCountEasy(int y)
        {
            int[] a = new int[5] { 1, 1, 1, 1,0 };
            if (y < 4)
            {
                return 1;
            }
            else
            {
                for (int i = 4; i < y+1; i++)
                {
                    a[4] = a[3] + a[0];
                    a[0] = a[1];
                    a[1] = a[2];
                    a[2] = a[3];
                    a[3] = a[4];
                }
                return a[4];
            }           
        }

20年后的运行结果：
递归算法 Time:0ms Numbers:345
递推算法Time:0ms Numbers:345
60年后的运行结果：
递归算法 Time:4023ms Numbers:136886433
递推算法Time:0ms Numbers:136886433