POJ 1286 Necklace of Beads

思路

polya定理/Burnside引理
本质不同的等价类数目就是把置换拆成循环，每个循环就是一个不动点，求所有置换方案的不动点数目的平均值
polya给出了求不动点数目的具体方法，循环中颜色相同，每个循环选什么颜色不冲突，选什么颜色都行，所以对应的方案数就是\(n^L\)，L是循环的个数

polya定理的题目
考虑每种变换的方式，
如果旋转\(k\)个的话，相当于i和(i+k)%n在一个循环中，假设t的时候第一次完成了一次循环，所以\(tk\% n = 0\)，所以\(t=\frac{n}{gcd(n,k)}\)，所以循环中有t个元素，一共\(gcd(n,k)\)个循环
然后考虑对称的情况，如果是奇数个点就是点和相对的边，一共n种，每种有\(\frac{(n-1)}{2}+1\)个循环
如果是偶数个点就是点和相对的点对称，一共\(\frac{n}{2}\)种，每种\(\frac{n-2}{2}+2\)个循环
或者是边和相对的边对称，一个\(\frac{n}{2}\)，每种\(\frac{n}{2}\)个循环

Polya一般这样思考，面面对应旋转，点和对点对应旋转/对称，边中点和对边中点对应旋转/对称

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a);
        a=(a*a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int gcd(int a,int b){
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
int n,ans=0;
signed main(){
    while(scanf("%lld",&n)==1&&n!=-1){
        if(n==0){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ans=0;
        int cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            ans=(ans+pow(3,gcd(n,i)));
            cnt++;
        }
        if(n%2){
            ans=(ans+pow(3,(n-1)/2+1)*n);
            cnt+=n;
        }
        else{
            ans=(ans+pow(3,(n-2)/2+2)*(n/2));
            cnt+=n/2;
            ans=(ans+pow(3,n/2)*(n/2));
            cnt+=n/2;
        }
        printf("%lld\n",ans/cnt);
    }
    return 0;
}