排列算法 Permutation Generation

一直以为排列是蛮基本的算法，没什么好研究的。因为有个很简单的算法，我们可以递推生成所需排列。

比如已经知道两个元素的排列，a1 a2, a2 a1，引入第三个元素后，所需做的就是往前面结果里insert。

a3 a1 a2, a1 a3 a2, a1 a2 a3 ... 这种定义显然是递归的，所以就会认为很容易转换出清晰的程序了。

 以前甚至还颇得意的用ruby写过这样自我感觉很好的程序。现在回想真是汗颜，多么弱智且没效率啊。

主要问题在于，如何在每下一次的生成排列做到，不用额外空间，最好是原地的，并且修改量要小，否则就是一个大常数乘以恐怖的N！。

 

看来轻视学问总是要被报复的，知耻而后勇，花了点时间学习一下前辈们对于排列的研究吧。

没想到简单的搜了几篇，排列竟有这么多的研究和应用。大牛Donald Knuth在The art of computer programming 最新第四卷专门为排列开设课题这里，面对这种符号流的圣经，我只能蜻蜓点水，学点皮毛了。

这篇Princeton的slides作为入门还是不错的。主要的算法（其实都很古老了，最早可以追溯到1650s）包括1. backtracking 2. Plain changes 3.字典序列（lexicographic genenration）4. Index table 5.Heap's algorithm

下面介绍一下主要的算法思想 和 简单的实现

 

 1. 字典序列

这个方法的思路在于按照从“小到大”的方式生成所有排列。假设每一个参与排列的项都是可以比较大小的，即使不很直观也总可以找到某种映射法（随便赋个数），字典序就是最左的位权重最高，向右依次比较大小。

1. 算法的初始步骤为，排成最小的序列。a1<a2<...<an （为了方便打字 假设每项唯一）

2. 然后从右向左，找到第一个 aj<aj+1，意味着aj+1>aj+2>...>an

3. 在[aj+1到an]中找到最小的ak并且aj<ak ，交换aj和ak

4. 镜像反转[aj+1到an]的元素，重复第二步直到序列最大，a1>a2>...>an

 以{1,2,3}为例子，所产生的序列为

1,2,3

1,3,2

2,1,3

2,3,1

3,1,2

3,2,1

给人的感觉是和十进制进位非常相像。都是从右边最低位开始变化，每次向左移动，为了尽可能小的增大，相当于十进制的加一。每次交换反转相当于进位，也是要最小化增大量，被交换最小的ak是aj最合适的下一位，因为选择其他的都会造成不连续。反转使极大变成极小，相当于从9到0的回归。算法的效率不会太好，因为存在大量的反转操作。

 

 2. backtracking

 相当直观好懂的算法，直接给出实现

[a1,a2 ... aN]

 generate(int N)
 {
      if (N == 1) dosomething();
      for (int i = 1; i <= N; i++)
      { swap(i, N); generate(N-1); swap(i, N); }
 } 

 

 假设generate(N-1)能产生所有排列，那么通过和之前N-1个元素交换最后的第N个元素（或者不交换）可以产生新的排列，所产生的个数正好是N×generate(N-1)，满足排列定义，所以是N！个。算法中的后一个swap是为了保证把最后一个元素换回原来位子，还原整个序列，注意所有递归操作施加在了同一个静态数组上。

 3. Plain changes

或者叫做 Johnson-Trotter 算法。令人佩服的是这个算法可以追溯到17世纪的英国。当时的教堂有很多编钟，为了每次摆出不同的花样（为了my lord），需要对钟的排列作出调整。古人不容易啊要想算出5个钟120种变化已经很不容易了，而且更令人抓狂的是，这些编钟各个体形巨大、笨重，所以需要一种每次移动最少的方法。至理名言，最优秀的程序员是因为太懒了，为了“偷懒”ringers找到了好办法，后来被形式化成这个算法了（这里有相关历史介绍）

设[a1,a2 ... aN] 每一项都有向左或向右两个移动方向。

1.初始化所有移动方向向左

2.如果移动方向的值比自己小，就可移动，比如 <1 >2 <3, 3可以移动，2不可以因为3大

3.移动最大的可以动项

4.将所有比移动项大的项方向反转 重复第三步 直到不能移动为止

举个N=4的例子：

<1  <2  <3  <4
 <1  <2  <4  <3
 <1  <4  <2  <3
 <4  <1  <2  <3
  4> <1  <3  <2
 <1   4> <3  <2
 <1  <3   4> <2
 <1  <3  <2   4>
 <3  <1  <2  <4
 <3  <1  <4  <2
 <3  <4  <1  <2
 <4  <3  <1  <2
  4>  3> <2  <1
  3>  4> <2  <1
  3> <2   4> <1
  3> <2  <1   4>
 <2   3> <1  <4
 <2   3> <4  <1
 <2  <4   3> <1
 <4  <2   3> <1
  4> <2  <1   3>
 <2   4> <1   3>
 <2  <1   4>  3>
 <2  <1   3>  4>

1. Heap's algorithm

是对backtracking的改进，减少了第一次swap，效率渴望翻倍

 

 

[a1,a2 ... aN]

 generate(int N)
 {
      if (N == 1) dosomething();
      for (int i = 1; i <= N; i++)
      { generate(N-1); swap(N % 2 ? 1 : i, N); }
 } 

 

 如果下标从零开始swap改为N % 2 ? i : 0或者N % 2 * i

该算法和index table有关，而这个方法又牵涉到cycle index是和group theory有关的东西了。黑茫茫的隧道一样的知识链条啊。何日能一观瞻要看缘分了。