概率分析和随机算法(2)——算法导论(6)

1. 引言

    接下来几篇将通过几个有趣的例子继续探究概率分析和随机算法。

 

2. 生日悖论

(1) 问题的提出

    我们的第一个例子是生日悖论：一个屋子里人数必须要达到多少人，才能使其中两人的生日相同的机会达到50%。你可能认为是365 / 2，但事实上，答案是一个很小的数值。下面我们对这个问题进行分析。

 

(2) 分析问题

    我们首先找出问题的关键。这个问题的关键就是：人数(设为k)和他们中两人生日相同的概率(设为P1)的关系。要分析P1，我们可以从两个方面（直接正面思考和从其对立面思考）进行思考：

需要提前说明的是，

    a. 我们对屋子里的k个人进行了从1~k的依次编号；

    b. 我们不考虑闰年的情况，即1年是N = 365天。我们对每一天也进行了编号，编号方式是一年中的第n天编号为n；

    c. 我们设bi表示编号为i的人的生日，bi = n表示编号为i的人的生日是编号为n的那天。显然有，1≤bi≤365。

    d. 我们还假设生日均匀分布在一年中的n天中，因此概率P(bi = n) = 1 / N;

   

    方式①：我们直接从正面去思考，即存在两人生日相同的概率。

不失一般性，我们记bi和bj分别表示i和j两人的生日，那么两人生日落在第n天的概率P(bi = bj = n) = P(bi = n) * P(bj = n) = 1 / N²。那么两人生日落在同一天的概率：

我们用计数变量Xij来表示i和j两人的生日是否相同（如果相同Xij = 1，否则Xij = 0），由上面的结论，P(Xij) = 1 / N；我们设随机变量X表示k人中生日两两相同的对数。则：

由E(X) ≥1可解得，n≥28。这就是说，屋子里至少需要有28人，我们可以期望找到至少一对人生日相同。

    方式②：我们再从对立面去考虑该问题，即任意两人生日都不同的概率。

我们设Ai表示对于所有j<i，i与j生日都不同的事件；设Bk表示k个人生日都不同的事件。则有：

由贝叶斯定理，

由此我们可以递归的得到：

显然，P(B1)=1，而P(Ak|Bk-1)=(n-k+1)/n（因为P(Ak|Bk-1)的意思是在k-1人生日都不同的情况下，第k个人生日与前面k-1个人不同的概率），因此有：

有不等式 ，我们得出：

由1-P(Bk)<=50%得：k≥23。这就是说如果至少有23个人在一间屋子里，那么至少有两个人生日相同的概率至少是50%。

3. 总结

    第一种分析方式使用了指示器随机变量，给出了相同生日期望为1时的人数；而第二种方式仅使用了概率，确定了为使至少存在一对人生日相同的事件发生的概率大于50%，至少需要多少人。虽然两种情形下人的准确数目不同，但它们在渐进阶数上是相等的，都为θ(√n)（如果你去解上面的不等式，你就会发现）。

 

ps：以上内容均摘自《算法导论》中文译本。本人只是提取出文中个人认为比较重要的点，加入了一些个人理解，仅供参考。