母函数与排列组合
母函数与排列组合
在谈论母函数问题之前，我们先看一个简单的问题描述：假如有两组数据（A,B）和（C,D），每组中选出一个构成一个组合，总共有几种选法？很显然总共有4种选法：AC,AD,BC,BD。而且很容易联想到这个式子（A+B）*（C+D）=A*C+A*D+B*C+B*D。式子中的几个乘积项就是上面的4种选法。假如把问题换一下：每组中选出一个或0个数据构成组合，总共有几种组合？那么结果就变成：{空},A,B,C,D,AC,AD,BC,BD，而式子（1+A+B）*（1+C+D）=1+C+D+A+A*C+A*D+B+B*C+B*D，正好和上面组合的结果又一致（1代表什么都没选）。从这2个例子我们可以发现多项式乘积和组合存在着某种关系。事实上我们可以这么理解：（1+A+B）可以理解为从第一组数据中取0个数据，取A或者取B，同样（1+C+D）可以理解为从第二组数据取0个数据，取C或者取D。两者相乘的结果就表示了所有的组合。再看一下这个多项式：
（1+x）*（1+x+x2）*（1+x3）=1+2x+2x2+2x3+2x4+2x5+x6
这个多项式和上面的有一些区别了，它的幂级数超过1了。如果要从（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到x的2次方的话，有两种选择：从（1+x）和（1+x+x2）中分别选择一个x或者从（1+x+x2）中选择x2；如果要得到x的6次方的话，只有1种选择，就是从（1+x）中选择x、（1+x+x2）中选择x2、（1+x3）中选择x3。也就是说乘积结果的每一项anxn的前面的系数an表示了从（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到xn的组合数。
其实上面的例子就利用了母函数的思想，下面来具体讨论一下母函数。
一.什么是母函数
下面这个对于母函数的描述摘自维基百科：
在数学中，某个序列 的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
也就是说母函数是针对某个序列的，它的外在表现形式是一种形式幂级数。比如说有这样一个序列a0，a1，......an，构造一个函数
f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn
则f(x)是序列a0，a1，......an的母函数。比如说最常见的(1+x)n，它是序列C(n,0)，C(n,1)，C(n,2)...C(n,n)的母函数。
母函数包括几种，其中最常见的是普通型母函数和指数型母函数。普通型母函数是形如 f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn的函数，而指数型母函数是形如G(x) = a0 + a1*(x)/1! + a2*(x2)/ 2! + a3*(x3)/3! + …… an*(xn)/k!的函数。
二.利用普通型母函数解决组合问题
利用母函数的思想可以解决很多组合问题，下面举例说明：
1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，从袋中摸出3个球有几种取法？
和上面描述的例子类似，我们可以用次数代表球的个数，多项式的每一项前面的系数代表取法的种树。
可以很容易地写出下面这个式子：
（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x）
（1+x+x2）表示有白球2个，1表示白球不取，x代表取1个白球，x2代表取2个白球，即用x的次数表示取球的个数，后面的也是类似。那么这个多项式的乘积就把所有的情况都表示出来了，对于最终乘积的每一项anxn，表示取n个球有an种取法。
2.有若干个1克，2克，5克的砝码，要称出20克的重量，有多少种称法？
这里不限制砝码的个数，无所谓，照样写出母函数：
（1+x+x2+x3+......xk+....）（1+x2+x4+x6......+x2n+......）（1+x5+x10+......x5m+......）
因为要称出20克，所以只需要找找到结果中次数为20 的那一项就可以得到结果。
3.同样对于正数划分也可以解决，比如有整数20，划分成1，2，5，有多少种划分方法？
解法和2的类似。
还有一类题目和这类似，有n个球放到m个盒子中，有多少种不同的放法？
（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）总共有m项，然后找出乘积中次数为n的那一项系数。
三.利用指数型母函数解决排列问题
1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，任取3个作为一个排列，总共有多少种排列？
类似地用指数型母函数解决
用（1+x/1!+x2/2!）表示取白球0个，1个或者2个
那么（1+x/1!+x2/2!）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!）（1+x/1!）来表示所有的排列结果。
=1+3x+4x2+19x3/6+19x4/12+6x5/12+x6/12
=1+3*(x/1!)+8*(x2/2!)+19*(x3/3!)+38*(x4/4!)+60*(x5/5!)+60*(x6/6!)
找到次数为3的那一项，系数为19，那么总共有19种排列。
2.用1，2，3，4能够组成多少个5位数，要求1出现2次或者3次，2出现0次或者1次，3没有限制，4只出现偶数次。
（x2/2!+x3/3!）（1+x）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!+.....xk/k!+....）（1+x2/2!+x4/4!+......+x2n/(2n)!+......）
每个式子的含义就不多解释了，读者应该能看懂它的含义。最终的结果就是x5/5!这一项的系数。
用代码去实现母函数的计算过程很简单，它是模拟我们人工计算多项式乘积的过程，比如有多项式H1*H2*H3......
我们先计算H1和H2的乘积，得到结果H'，再用H'和H3相乘......依次类推下去，直到得到最终的结果。
下面这道题目是航电上的一道题：
题目意思是有1分，2分，5分的硬币各a，b，c枚，求算不能组成的总钱数的最小值。
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
#include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char *argv[]) { int num[3]; int cent[3]={1,2,5}; //次数增长步长 while(scanf("%d %d %d",&num[0],&num[1],&num[2]) != EOF) { if(num[0]==0&&num[1]==0&&num[2]==0) break; int i,j,k; int c[8001],tempC[8001]; //因为三种硬币最多1000枚，1*1000+2*1000+5*1000=8000，那么多项式乘积的最高次数为8000 //c保存累计相乘各项的系数，tempC保存c和当前项相乘的系数 //c[i] 表示次数为i的那一项的系数 int max=num[0]+2*num[1]+5*num[2]; //求出该组输入条件下的最高次数 for(i=0;i<=8001;i++) { c[i]=0; tempC[i]=0; } //母函数为(1+x+x^2+...x^num[0])(1+x^2+x^4+....x^2*num[1])(1+x^5+x^10+...+x^5*num[2]) for(i=0;i<=cent[0]*num[0];i+=cent[0]) //第一个多项式的系数初始化 { c[i]=1; } for(i=1;i<3;i++) //i表示总共有多少个多项式 { for(j=0;j<=max;j++) //累计相乘的x^j的系数 { for(k=0;k+j<=max && k<=cent[i]*num[i];k+=cent[i]) //当前项x^k的系数 { tempC[k+j]+=c[j]; //x^j * x^k=x^(j+k) } } for(j=0;j<=max;j++) //将临时数组清零 { c[j]=tempC[j]; tempC[j]=0; } } for(i=0;i<=max;i++) { if(c[i]==0) break; } printf("%d\n",i); } return 0; }
