第4章 概率统计
本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。
4.1 随机数的产生
4.1.1 二项分布的随机数据的产生
命令 参数为N，P的二项随机数据
函数 binornd
格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。
R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数
例4-1
>> R=binornd(10,0.5)
R =
3
>> R=binornd(10,0.5,1,6)
R =
8 1 3 7 6 4
>> R=binornd(10,0.5,[1,10])
R =
6 8 4 6 7 5 3 5 6 2
>> R=binornd(10,0.5,[2,3])
R =
7 5 8
6 5 6
>>n = 10:10:60;
>>r1 = binornd(n,1./n)
r1 =
2 1 0 1 1 2
>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])
r2 =
0 1 2 1 3 1
4.1.2 正态分布的随机数据的产生
命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据
函数 normrnd
格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数
例4-2
>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))
n1 =
2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827
>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])
n2 =
0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462
>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵
n3 =
0.9299 1.9361 2.9640
4.1246 5.0577 5.9864
>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数
R =
9.7837 10.0627 9.4268
9.1672 10.1438 10.5955
4.1.3 常见分布的随机数产生
常见分布的随机数的使用格式与上面相同
表4-1 随机数产生函数表
|
函数名 |
调用形式 |
注 释 |
|
Unifrnd |
unifrnd ( A,B,m,n) |
[A,B]上均匀分布(连续) 随机数 |
|
Unidrnd |
unidrnd(N,m,n) |
均匀分布（离散）随机数 |
|
Exprnd |
exprnd(Lambda,m,n) |
参数为Lambda的指数分布随机数 |
|
Normrnd |
normrnd(MU,SIGMA,m,n) |
参数为MU，SIGMA的正态分布随机数 |
|
chi2rnd |
chi2rnd(N,m,n) |
自由度为N的卡方分布随机数 |
|
Trnd |
trnd(N,m,n) |
自由度为N的t分布随机数 |
|
Frnd |
frnd(N1, N2,m,n) |
第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数 |
|
gamrnd |
gamrnd(A, B,m,n) |
参数为A, B的分布随机数 |
|
betarnd |
betarnd(A, B,m,n) |
参数为A, B的分布随机数 |
|
lognrnd |
lognrnd(MU, SIGMA,m,n) |
参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数 |
|
nbinrnd |
nbinrnd(R, P,m,n) |
参数为R，P的负二项式分布随机数 |
|
ncfrnd |
ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) |
参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数 |
|
nctrnd |
nctrnd(N, delta,m,n) |
参数为N，delta的非中心t分布随机数 |
|
ncx2rnd |
ncx2rnd(N, delta,m,n) |
参数为N，delta的非中心卡方分布随机数 |
|
raylrnd |
raylrnd(B,m,n) |
参数为B的瑞利分布随机数 |
|
weibrnd |
weibrnd(A, B,m,n) |
参数为A, B的韦伯分布随机数 |
|
binornd |
binornd(N,P,m,n) |
参数为N, p的二项分布随机数 |
|
geornd |
geornd(P,m,n) |
参数为 p的几何分布随机数 |
|
hygernd |
hygernd(M,K,N,m,n) |
参数为 M，K，N的超几何分布随机数 |
|
Poissrnd |
poissrnd(Lambda,m,n) |
参数为Lambda的泊松分布随机数 |
4.1.4 通用函数求各分布的随机数据
命令 求指定分布的随机数
函数 random
格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列
例4-3 产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数
>> y=random('norm',2,0.3,3,4)
y =
2.3567 2.0524 1.8235 2.0342
1.9887 1.9440 2.6550 2.3200
2.0982 2.2177 1.9591 2.0178
4.2 随机变量的概率密度计算
4.2.1 通用函数计算概率密度函数值
命令 通用函数计算概率密度函数值
函数 pdf
格式 Y=pdf(name，K，A)
Y=pdf(name，K，A，B)
Y=pdf(name，K，A，B，C)
说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。
表4-2 常见分布函数表
|
name的取值 |
函数说明 |
||
|
'beta' |
或 |
'Beta' |
Beta分布 |
|
'bino' |
或 |
'Binomial' |
二项分布 |
|
'chi2' |
或 |
'Chisquare' |
卡方分布 |
|
'exp' |
或 |
'Exponential' |
指数分布 |
|
'f' |
或 |
'F' |
F分布 |
|
'gam' |
或 |
'Gamma' |
GAMMA分布 |
|
'geo' |
或 |
'Geometric' |
几何分布 |
|
'hyge' |
或 |
'Hypergeometric' |
超几何分布 |
|
'logn' |
或 |
'Lognormal' |
对数正态分布 |
|
'nbin' |
或 |
'Negative Binomial' |
负二项式分布 |
|
'ncf' |
或 |
'Noncentral F' |
非中心F分布 |
|
'nct' |
或 |
'Noncentral t' |
非中心t分布 |
|
'ncx2' |
或 |
'Noncentral Chi-square' |
非中心卡方分布 |
|
'norm' |
或 |
'Normal' |
正态分布 |
|
'poiss' |
或 |
'Poisson' |
泊松分布 |
|
'rayl' |
或 |
'Rayleigh' |
瑞利分布 |
|
't' |
或 |
'T' |
T分布 |
|
'unif' |
或 |
'Uniform' |
均匀分布 |
|
'unid' |
或 |
'Discrete Uniform' |
离散均匀分布 |
|
'weib' |
或 |
'Weibull' |
Weibull分布 |
例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)
例4-4 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。
解：>> pdf('norm',0.6578,0,1)
ans =
0.3213
例4-5 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。
解：>> pdf('chi2',2.18,8)
ans =
0.0363
4.2.2 专用函数计算概率密度函数值
命令 二项分布的概率值
函数 binopdf
格式 binopdf (k, n, p) %等同于， p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数
命令 泊松分布的概率值
函数 poisspdf
格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于
命令 正态分布的概率值
函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值
专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。
表4-3 专用函数计算概率密度函数表
|
函数名 |
调用形式 |
注 释 |
|
Unifpdf |
unifpdf (x, a, b) |
[a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值 |
|
unidpdf |
Unidpdf(x,n) |
均匀分布（离散）概率密度函数值 |
|
Exppdf |
exppdf(x, Lambda) |
参数为Lambda的指数分布概率密度函数值 |
|
normpdf |
normpdf(x, mu, sigma) |
参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值 |
|
chi2pdf |
chi2pdf(x, n) |
自由度为n的卡方分布概率密度函数值 |
|
Tpdf |
tpdf(x, n) |
自由度为n的t分布概率密度函数值 |
|
Fpdf |
fpdf(x, n1, n2) |
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值 |
|
gampdf |
gampdf(x, a, b) |
参数为a, b的分布概率密度函数值 |
|
betapdf |
betapdf(x, a, b) |
参数为a, b的分布概率密度函数值 |
|
lognpdf |
lognpdf(x, mu, sigma) |
参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值 |
|
nbinpdf |
nbinpdf(x, R, P) |
参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值 |
|
Ncfpdf |
ncfpdf(x, n1, n2, delta) |
参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值 |
|
Nctpdf |
nctpdf(x, n, delta) |
参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值 |
|
ncx2pdf |
ncx2pdf(x, n, delta) |
参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值 |
|
raylpdf |
raylpdf(x, b) |
参数为b的瑞利分布概率密度函数值 |
|
weibpdf |
weibpdf(x, a, b) |
参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值 |
|
binopdf |
binopdf(x,n,p) |
参数为n, p的二项分布的概率密度函数值 |
|
geopdf |
geopdf(x,p) |
参数为 p的几何分布的概率密度函数值 |
|
hygepdf |
hygepdf(x,M,K,N) |
参数为 M，K，N的超几何分布的概率密度函数值 |
|
poisspdf |
poisspdf(x,Lambda) |
参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值 |
例4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形
>> x=0:0.1:30;
>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')
>> hold on
>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')
>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')
>> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域
则图形为图4-1。
4.2.3 常见分布的密度函数作图
1．二项分布
例4-7
>>x = 0:10;
>>y = binopdf(x,10,0.5);
>>plot(x,y,'+')
2．卡方分布
例4-8
>> x = 0:0.2:15;
>>y = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,y)
图4-2
3．非中心卡方分布
例4-9
>>x = (0:0.1:10)';
>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);
>>p = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
4．指数分布
例4-10
>>x = 0:0.1:10;
>>y = exppdf(x,2);
>>plot(x,y)
图4-3
5．F分布
例4-11
>>x = 0:0.01:10;
>>y = fpdf(x,5,3);
>>plot(x,y)
6．非中心F分布
例4-12
>>x = (0.01:0.1:10.01)';
>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);
>>p = fpdf(x,5,20);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
图4-4
7．Γ分布
例4-13
>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);
>>y = gampdf(x,100,10);
>>y1 = normpdf(x,1000,100);
>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')
8．对数正态分布
例4-14
>>x = (10:1000:125010)';
>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);
>>plot(x,y)
>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])
>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…
'$90,000','$120,000'))
图4-5
9．负二项分布
例4-15
>>x = (0:10);
>>y = nbinpdf(x,3,0.5);
>>plot(x,y,'+')
10．正态分布
例4-16
>> x=-3:0.2:3;
>> y=normpdf(x,0,1);
>> plot(x,y)
图4-6
11．泊松分布
例4-17
>>x = 0:15;
>>y = poisspdf(x,5);
>>plot(x,y,'+')
12．瑞利分布
例4-18
>>x = [0:0.01:2];
>>p = raylpdf(x,0.5);
>>plot(x,p)
图4-7
13．T分布
例4-19
>>x = -5:0.1:5;
>>y = tpdf(x,5);
>>z = normpdf(x,0,1);
>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')
14．威布尔分布
例4-20
>> t=0:0.1:3;
>> y=weibpdf(t,2,2);
>> plot(y)
图4-8
4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值)
4.3.1 通用函数计算累积概率值
命令 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）
函数 cdf
格式
cdf('name',K,A)
cdf('name',K,A,B)
cdf('name',K,A,B,C)
说明 返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1 常见分布函数表
例4-21 求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。
解：
>> cdf('norm',0.4,0,1)
ans =
0.6554
例4-22 求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率
>> cdf('chi2',6.91,16)
ans =
0.0250
4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）
命令 二项分布的累积概率值
函数 binocdf
格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。
命令 正态分布的累积概率值
函数 normcdf
格式 normcdf() %返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数
例4-23 设X~N（3, 22）
（1）求
（2）确定c，使得
解（1） p1=
p2=
p3=
p4=
则有：
>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)
p1 =
0.5328
>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)
p2 =
0.9995
>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)
p3 =
0.6853
>>p4=1-normcdf(3,3,2)
p4 =
0.5000
专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。
表4-4 专用函数的累积概率值函数表
|
函数名 |
调用形式 |
注 释 |
|
unifcdf |
unifcdf (x, a, b) |
[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
unidcdf |
unidcdf(x,n) |
均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
expcdf |
expcdf(x, Lambda) |
参数为Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
normcdf |
normcdf(x, mu, sigma) |
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
chi2cdf |
chi2cdf(x, n) |
自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
tcdf |
tcdf(x, n) |
自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
fcdf |
fcdf(x, n1, n2) |
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值 |
|
gamcdf |
gamcdf(x, a, b) |
参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
betacdf |
betacdf(x, a, b) |
参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
logncdf |
logncdf(x, mu, sigma) |
参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值 |
|
nbincdf |
nbincdf(x, R, P) |
参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
ncfcdf |
ncfcdf(x, n1, n2, delta) |
参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 |
|
nctcdf |
nctcdf(x, n, delta) |
参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
ncx2cdf |
ncx2cdf(x, n, delta) |
参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值 |
|
raylcdf |
raylcdf(x, b) |
参数为b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
weibcdf |
weibcdf(x, a, b) |
参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
binocdf |
binocdf(x,n,p) |
参数为n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
geocdf |
geocdf(x,p) |
参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
|
hygecdf |
hygecdf(x,M,K,N) |
参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值 |
|
poisscdf |
poisscdf(x,Lambda) |
参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} |
说明 累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。
4.4 随机变量的逆累积分布函数
MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。
逆累积分布函数值的计算有两种方法
4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值
命令 icdf 计算逆累积分布函数
格式 icdf('name',P,a1,a2,a3)
说明 返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。
如果，则
例4-24 在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x
解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1)
x =
1.9600
例4-25 在分布表中，若自由度为10，=0.975，求临界值Lambda。
解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.025，即
>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)
Lambda =
3.2470
例4-26 在假设检验中，求临界值问题：
已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值
>>lambda=icdf('t',0.025,10)
lambda =
-2.2281
4.4.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数
命令 正态分布逆累积分布函数
函数 norminv
格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。
例4-27 设，确定c使得。
解：由得，=0.5，所以
>>X=norminv(0.5, 3, 2)
X=
3
关于常用临界值函数可查下表4-5。
表4-5 常用临界值函数表
|
函数名 |
调用形式 |
注 释 |
|
unifinv |
x=unifinv (p, a, b) |
均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x） |
|
unidinv |
x=unidinv (p,n) |
均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值 |
|
expinv |
x=expinv (p, Lambda) |
指数分布逆累积分布函数 |
|
norminv |
x=Norminv(x,mu,sigma) |
正态分布逆累积分布函数 |
|
chi2inv |
x=chi2inv (x, n) |
卡方分布逆累积分布函数 |
|
tinv |
x=tinv (x, n) |
t分布累积分布函数 |
|
finv |
x=finv (x, n1, n2) |
F分布逆累积分布函数 |
|
gaminv |
x=gaminv (x, a, b) |
分布逆累积分布函数 |
|
betainv |
x=betainv (x, a, b) |
分布逆累积分布函数 |
|
logninv |
x=logninv (x, mu, sigma) |
对数正态分布逆累积分布函数 |
|
nbininv |
x=nbininv (x, R, P) |
负二项式分布逆累积分布函数 |
|
ncfinv |
x=ncfinv (x, n1, n2, delta) |
非中心F分布逆累积分布函数 |
|
nctinv |
x=nctinv (x, n, delta) |
非中心t分布逆累积分布函数 |
|
ncx2inv |
x=ncx2inv (x, n, delta) |
非中心卡方分布逆累积分布函数 |
|
raylinv |
x=raylinv (x, b) |
瑞利分布逆累积分布函数 |
|
weibinv |
x=weibinv (x, a, b) |
韦伯分布逆累积分布函数 |
|
binoinv |
x=binoinv (x,n,p) |
二项分布的逆累积分布函数 |
|
geoinv |
x=geoinv (x,p) |
几何分布的逆累积分布函数 |
|
hygeinv |
x=hygeinv (x,M,K,N) |
超几何分布的逆累积分布函数 |
|
poissinv |
x=poissinv (x,Lambda) |
泊松分布的逆累积分布函数 |
例4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。
解：设h为车门高度，X为身高
求满足条件的h，即，所以
>>h=norminv(0.99, 175, 6)
h =
188.9581
例4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用
在MATLAB的编辑器下建立M文件如下：
n=5; a=0.9; %n为自由度，a为置信水平或累积概率
x_a=chi2inv(a,n)； %x _a 为临界值
x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算的概率密度函数值，供绘图用
plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形
xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用
fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭
text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点
text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)'])
%图中标注
text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注
结果显示如图4-9。
