coursera机器学习笔记-多元线性回归，normal equation

#对coursera上Andrew Ng老师开的机器学习课程的笔记和心得；

#注:此笔记是我自己认为本节课里比较重要、难理解或容易忘记的内容并做了些补充，并非是课堂详细笔记和要点；

#标记为<补充>的是我自己加的内容而非课堂内容，参考文献列于文末。博主能力有限，若有错误，恳请指正；

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多元线性回归的模型：

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梯度下降法在多元线性回归中的应用：

代价函数:；

梯度下降:

，

代入J(theta)得到:

；

 

在多元线性回归中用梯度下降法要注意feature scaling!

如果不同变量之间的大小不再一个数量级，作feature scaling能大大减少寻找最优解的时间；

例如:

• x1 = size (0 - 2000 feet)
• x2 = number of bedrooms (1-5)
• x1,x2之间差别很大，如果不做feature scaling，对θ_1和θ₂作等高线图:

　　，将会花很长时间去找最优解；

 

NG给的建议:最大变量和最小变量均值差3倍以内为佳；

mean normalization:将x_i替换为(x_i - mean)/max；

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学习速率α大小的选择：

1, 对足够小的α,J(theta)会单调减少，

；

2, 如果α过小, 梯度下降会很慢;

3, 如果α过大, J(theta)可能不会单调减少，甚至可能不收敛，

;

如何选择α，如下:

..., 0.001, 0.01, 0.1, 1, ..., 或者 ..., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, ....

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normal equation：假设我们有m个样本。特征向量的维度为n。因此，可知样本为{(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾), (x⁽²⁾,y⁽²⁾),... ..., (x^(m),y^(m))},其中对于每一个样本中的x⁽ⁱ⁾,都有x⁽ⁱ⁾={x₁⁽ⁱ⁾, x_n⁽ⁱ⁾,... ...,x_n⁽ⁱ⁾}。令 H(θ)=θ₀ + θ₁x₁ +θ₂x₂ +... + θ_nx_n，则有

，其中：

表示第i个training example；

表示第i个training example里的第j个feature的值；

m为#training example；

n为#feature；

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Normal Equation VS Gradient Descent

Normal Equation 跟 Gradient Descent（梯度下降）一样，可以用来求权重向量θ。但它与Gradient Descent相比，既有优势也有劣势。

优势：

Normal Equation可以不管x特征的scale。比如，有特征向量X={x₁, x₂}, 其中x₁的range为1~2000，而x₂的range为1~4，它们的范围相差了500倍。如果使用Gradient Descent方法的话，会导致椭圆变得很窄很长，而出现梯度下降困难，甚至无法下降梯度（因为导数乘上步长后可能会冲出椭圆的外面）。但是，如果用Normal Equation方法的话，就不用担心这个问题了。因为它是纯粹的矩阵算法。

劣势：

相比于Gradient Descent，Normal Equation需要大量的矩阵运算，特别是求矩阵的逆。在矩阵很大的情况下，会大大增加计算复杂性以及对计算机内存容量的要求。Andrew Ng建议矩阵维数<10,000时用normal equation,大于时改用梯度下降法；

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什么情况下会出现X^TX non-invertible_^？该如何应对？

（1）当特征向量的维度过多时（如，m <= n 时）

 解决方法：① 使用regularization的方式

　　　　　or ②删除一些特征维度

（2）有冗余特征（也称为linearly dependent feature）

例如，　x₁= size in feet²

　　　　x₂ = size in m²

　　　　feet和m的换算为 1m≈3.28feet所以，x₁ ≈ 3.28² * x₂, 因此x₁和x₂是线性相关的（也可以说x₁和x₂之间有一个是冗余的）

解决方法：找出冗余的特征维度，删除之。

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normal equation 的推导：

这种方法不需要经过任何循环，也不需要假设初始值。虽然推导本身有点复杂，但是结果一步到位，简单又效率。

准备工作：

定义function f(A)：Mapping from M-by-n matrices to the real numbers。定义f(A)的微分为：

定义trace operator。对于一个n by n的matrix A， the trace of A is:

Trace有如下特性：如果a是一个real number， 那么tr a = a；

矩阵微分有如下特性：

开始推导：

首先，设计一个m行n列的（实际上是n+1列，应为我们假设x0 =1 ）矩阵X，他的每一行都是一个training sample，每列都是一个特征。

 

设计y成为一个m列的目标值（输出值）向量，也就是房子的价格在我们例子中。

因为：

所以：

因为对于一个向量z来说：

所以：

最后我们用之前提到的矩阵微分特性的第二和第三条：

所以：

因为我们要让J最小，所以J的微分必须等于0。

所以：

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参考: 

coursera: standford machine learning, by Andrew Ng；

coursera: 台湾大学機器學習基石，by 林軒田;