甲乙两人互猜数字（鬼谷子问题）的逻辑推理与算法建模

一、问题

这是一道历史悠久，又很困难的逻辑推理题，有的公司还会将其作为面试题。有人将其称为“鬼谷子问题”，但笔者至今没有找到任何可靠来源。先给出问题。

你在旁观主持人和甲、乙两个天才数学家玩猜数字游戏。主持人准备了两个数，告知甲乙：这两个数不同，且大于等于1，小于等于30。然后主持人将两数之积告诉甲，把两数之和告诉乙。甲知道乙拿到两数之和，乙也知道甲拿到两数之积。主持人让甲乙猜这两个数字，让甲先发言。

甲：“我不知道这两个数是什么”

乙：“我也不知道”

甲：“那我知道了”

乙：“那我也知道了”

请问你，这两个数是什么？

 

另一种等价表述（即所谓的鬼谷子问题）：

一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：那我知道了。庞涓说：那我也知道了。

 

网上有不少对这道题的讨论和答案，但几乎都没有准确的推理过程，有些甚至是错误的。本文用尽量清晰的语言给出详细的推理过程，然后给出了计算机建模和程序实现，以及进一步的发散思考。但建议在参阅下面的答案前，先自行认真思考。

 

二、分析与推理

1. 约定

由于推断的逻辑很复杂，所以必须用约定的语言来描述。本文所用的推断名称格式如下：

“1甲n”表示若甲拿到的两数之积为n，第1次发言时做的推断。

“1乙m”表示若乙拿到的两数之和为m，根据甲的第1次发言，乙做出的推断。

“2甲n”表示若甲拿到的两数之积为n，根据乙的第1次发言，甲做出的推断。

“2乙m”表示若乙拿到的两数之和为m，根据甲的第2次发言，乙做出的推断。

前提是甲乙都是天才数学家，因此一定会先假设两个数，然后将自己做为对方进行推断。如果可以推断出，则一定不会失误。

 

推断的书写格式为：

推断名：可能拆分1，结论1；可能拆分2，结论2；……

推断名为红色表示可知推断，即可推断出确切的两个数；绿色表示未知推断，即有多种可能。

 

2. 推理过程

甲说：“我不知道”

下面列出甲拿到的积为2到12的全部情况。(A)若两数之积只有一种拆分的情况下甲会做出已知推断，与甲这次未知的事实不符；(B)若至少有两种可能，则甲做出未知推断，符合甲这次未知的事实。

1甲2：1*2，可知1和2。(A)

1甲3：1*3，可知1和3。(A)

1甲4：1*4，可知1和4。(A)

1甲5：1*5，可知1和5。(A)

1甲6：1*6，2*3。(B)

1甲7：1*7，可知1和7。(A)

1甲8：1*8，2*4。(B)

1甲9：1*9，可知1和9。(A)

1甲10：1*10，2*5。(B)

1甲11：1*11，可知1和11。(A)

1甲12：1*12，2*6，3*4。(B)

以下略，易证得两数之积为素数或素数的平方时为已知推断，否则为未知推断。

乙说：“我也不知道”

1. 对于乙，若两数之和只有一种拆分可能，则乙会做出已知推断，与乙第一次未知的事实不符。

2. 若至少有两种拆分可能，则乙可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之积，然后假设自己为甲做出推断，并得到相应的结论：(A)若在假设的某一种拆分的情况下甲会做出已知推断，则该情况与甲第一次未知的事实矛盾；(B)若有且只有一种拆分的情况下甲会做出未知推断，则乙可做出已知推断（就是这种拆分），与乙这次未知的事实矛盾；(C)若有至少两种拆分的情况下甲都会做出未知推断，则乙做出未知推断，符合乙这次未知的事实。

1乙3：1+2，可知1和2。(A)

1乙4：1+3，可知1和3。(A)

1乙5：1+4，则1甲4；2+3，则1甲6。(B)

1乙6：1+5，则1甲5；2+4，则1甲8。(B)

1乙7：1+6，则1甲6；2+5，则1甲10；3+4，则1甲12。(C)

1乙8：1+7，则1甲7；2+6，则1甲12；3+5，则1甲15。(C)

1乙9：1+8，则1甲8；2+7，则1甲14；3+6，则1甲18。(C)

1乙10：1+9，则1甲9；2+8，则1甲16；3+7，则1甲21；4+6，则1甲24。(C)

以下略，可算得皆为未知推断。

甲说：“那我知道了”

对于甲，在排除第一次的已知推断后，在剩下的推断中两数之积必有两个或以上的拆分可能。那么甲可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之和，然后假设自己为乙做出推断，并得到相应的结论：(A)若至少有两种拆分的情况下乙都会做出未知推断，则甲只能做出未知推断，与甲这次已知的事实矛盾；(B)若有一种拆分的情况下乙会做出未知推断，符合乙第一次未知的事实，则甲可做出已知推断，符合甲这次已知的事实。

2甲6：1*6，则1乙7；2*3，则1乙5。(B)

2甲8：1*8，则1乙9；2*4，则1乙6。(B)

2甲10：1*10，则1乙11；2*5，则1乙7。(A)

2甲12：1*12，则1乙12； 2*6，则1乙8；3*4，则1乙7。(A)

以下略，可算得皆为未知推断。

乙说：“那我也知道了”

对于乙，在排除上次的已知推断后，在剩下的推断中两数之和必有两个或以上的拆分可能。那么乙可在假设某一种拆分的情况下，算得两数之积，然后假设自己为甲做出推断，并得到相应的结论：(A)若假设的所有拆分情况下甲都会在第二次做出未知推断，则该情况与甲第二次已知的事实矛盾；(B)若有一种拆分的情况下甲会在第二次做出已知推断，符合甲第二次已知的事实，则乙可做出已知推断，符合乙这次已知的事实。

2乙7：1+6，则2甲6；2+5，则2甲10；3+4，则2甲12。(B)

2乙8：1+7，则2甲7；2+6，则2甲12；3+5，则2甲15。(A)

2乙9：1+8，则2甲8；2+7，则2甲15；3+6，则2甲18；4+5，则2甲20。(B)

2乙10：1+9，则2甲9；2+8，则2甲16；3+7，则2甲21；4+6，则2甲24。(A)

蓝色标注的情况早在第一次推断就被排除，不予考虑。以下略，可算得皆为未知推断。

 

3. 结论

当两数为1和6时或1和8时，甲乙各自的两次推断结论均满足题目所描述的事实。

 

三、计算机建模与实现

1. 模型

下面将用计算机程序来对这一问题进行建模，并在最后给出C++代码的实现。先给出一些定义（不要怕，仔细看看会发现其实都很简单）。

1. “拆分”是由两个取值范围内不同的两个数构成二元组；
2. 给定取值范围的所有拆分构成“全集”；
3. 经过推导排除掉全集中的一些拆分后的集合后形成“可能解集”；
4. “拆分之积”是指拆分的两数乘积；
5. “拆分之和”是指拆分的两数加和；
6. 可能解集中，所有拆分之积等于同一数值的所有拆分构成的子集称为“兄弟积拆分”；
7. 可能解集中，所有拆分之和等于同一数值的所有拆分构成的子集称为“兄弟和拆分”。

例如：取值范围给定为[1,4]，那么所有拆分构成的全集为：{<1 2>, <1 3>, <1 4>, <2 3>, <2 4>, <3 4>}。拆分<1 4>的拆分之和为1+4=5，拆分<2 3>的拆分之积为2*3=6。上述全集中的一个兄弟和拆分为：{<1 4>, <2 3>}，这是因为1+4=2+3=5。

分析前文的推导过程可知，当一种拆分在一次推导中被排除后，这种拆分的所有兄弟拆分也一同被排除。此外，由于取值范围设定的不同，拆分的数量是很难找到规律的，结果也很难通过推导直接算出。因此我们需要用计算机来模拟推导过程，不断排除不可能的解，最后剩下的可能解集就是所有解。

根据上面的理论，可将甲乙的推导过程建模如下。甲的第一次推导中排除的是只包含一种拆分的“兄弟积拆分”（如1甲4和1甲5）。乙的第一次推导是在甲的第一次推导中已经排除掉一些拆分（如1甲4和1甲5）后的基础上进行的，因此乙同样排除掉了只包含一种拆分的“兄弟和拆分”（如1乙6，注意，1乙6的拆分1+5之前已被1甲5排除）。甲的第二次推导仍是在之前排除掉一些拆分（如1乙6）后的基础上进行的，而这一次甲会排除掉包含多于一种拆分的“兄弟积拆分”（如2甲10和2甲12）。乙的第二次推导和甲的第二次推导类似，也会排除掉包含多一种拆分的“兄弟和拆分”。

进一步建模，可得到程序过程如下。

1. 构造全集Q；
2. 删除Q中所有成员数小于或等于1的兄弟积拆分；
3. 删除Q中所有成员数小于或等于1的兄弟和拆分；
4. 删除Q中所有成员数不等于1的兄弟积拆分；
5. 删除Q中所有成员数不等于1的兄弟和拆分；
6. 输出Q中所剩的解。

 

2. 数据结构与算法

为实现上述模型，需要以下几种基本操作：构造全集、求兄弟和拆分、求兄弟积拆分、推导排除。由于兄弟拆分需要满足两个条件：1) 运算结果相同；2) 属于可能解集。因此求兄弟拆分可用两种方法求出：1) 枚举出运算结果相同的所有拆分，逐一判断是否在可能解集内；2) 遍历可能解集，筛选出运算结果相同的所有拆分。由于判断属于可能解集的操作要使用查找操作，因此无论从实现复杂度还是效率上来讲都是方法2)较优。

排除的操作即对应于程序中的删除，对于绝大多数数据结构，删除中间元素都比添加到末尾麻烦一些。因此最高效的方法不是直接删除排除掉的拆分，而是另存不被排除的拆分，最后替换原集。但是另存会产生重复元素，且会导致无序。因此在替换原集之前做排序和去重是必要的。

为了避免结构体操作，可使用一个unsigned long类型的整数表示一个拆分，其中高16位和低16位分别表示拆分中的两个数。

综上所述，用C++语言实现，解集用stl库中的vector<unsigned long>表示。推导函数可抽象为：对于一个可能解集，用一种运算（乘或加）求出所有兄弟拆分，再用一种判断（小于等于1或不等于1）来决定求出的每一个兄弟拆分是否应该从解集中删除。因此推导函数可用模板实现，运算操作和判断操作可直接使用stl库中的functional的相关仿函数实现。

更一般的，我们可以求出每一种取值范围[1, n]，n从2变化为99。

 

3. C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <vector>

typedef unsigned long ulong;
typedef unsigned short ushort;
typedef std::vector<ulong> ULONGVEC;
typedef ULONGVEC::iterator ULONGVEC_I;

template<typename _Op, typename _Jd>
void Deduce(ULONGVEC &pairs, _Op op, _Jd jd)
{
	ULONGVEC bros;
	for (ULONGVEC_I i = pairs.begin(); i != pairs.end(); ++i) {
		ulong cnt = 0, res = op(*i >> 16, *i & 0xFFFF);
		//求出所有兄弟拆分，存入bros的末尾
		for (ULONGVEC_I j = pairs.begin(); j != pairs.end(); ++j) {
			if (op(*j >> 16, *j & 0xFFFF) == res) {
				bros.push_back(*j);
				++cnt;
			}
		}
		// 判断兄弟拆分是否满足条件，如不满足则不保留该兄弟集合
		if (jd(cnt, 1)) bros.erase(bros.end() - cnt, bros.end());
	}
	//排序、去重、替换原集
	std::sort(bros.begin(), bros.end());
	ULONGVEC_I iEnd = std::unique(bros.begin(), bros.end());
	pairs.assign(bros.begin(), iEnd);
}

int main()
{
	for (ushort n = 2; n < 100; ++n) {
		ULONGVEC pairs;
		for (ushort i = 1; i < n; ++i)
			for (ushort j = i + 1; j <= n; ++j)
				pairs.push_back((i << 16) | j);
		// 四次推导过程
		Deduce(pairs, std::multiplies<ulong>(), std::less_equal<ulong>());
		Deduce(pairs, std::plus<ulong>(), std::less_equal<ulong>());
		Deduce(pairs, std::multiplies<ulong>(), std::not_equal_to<ulong>());
		Deduce(pairs, std::plus<ulong>(), std::not_equal_to<ulong>());
		std::cout << "1 to " << n << ": ";
		for (ULONGVEC_I i = pairs.begin(); i != pairs.end(); ++i)
			std::cout << '(' << (*i >> 16) << ',' << (*i & 0xFFFF) << "); ";
		std::cout << std::endl;
	}
	return 0;
}

 

4. 运行结果

1 to 2:
1 to 3:
1 to 4:
1 to 5:
1 to 6:
1 to 7:
1 to 8:
1 to 9: (1,8); (3,8);
1 to 10: (3,8); (5,8);
1 to 11: (3,8); (5,8);
1 to 12: (1,6); (4,9); (8,9);
1 to 13: (1,6); (4,9); (8,9);
1 to 14: (1,6); (7,12);
1 to 15: (1,6);
1 to 16: (1,6); (1,8);
1 to 17: (1,6); (1,8);
1 to 18: (1,6); (1,8); (9,12); (9,16);
1 to 19: (1,6); (1,8); (9,12); (9,16);
1 to 20: (1,6); (1,8);
1 to 21: (1,6); (1,8); (14,18);
1 to 22: (1,6); (1,8); (11,16); (14,18);
1 to 23: (1,6); (1,8); (11,16); (14,18);
1 to 24: (1,6); (1,8);
1 to 25: (1,6); (1,8); (16,18); (18,20);
1 to 26: (1,6); (1,8); (18,20);
1 to 27: (1,6); (1,8); (18,21);
1 to 28: (1,6); (1,8); (16,27);
1 to 29: (1,6); (1,8); (16,27);
1 to 30: (1,6); (1,8);
1 to 31: (1,6); (1,8);
1 to 32: (1,6); (1,8); (20,27);
1 to 33: (1,6); (1,8); (20,27);
1 to 34: (1,6); (1,8); (22,27);
1 to 35: (1,6); (1,8); (25,28);
1 to 36: (1,6); (1,8); (24,30); (27,32);
1 to 37: (1,6); (1,8); (24,30); (27,32);
1 to 38: (1,6); (1,8); (27,32);
1 to 39: (1,6); (1,8);
1 to 40: (1,6); (1,8);
1 to 41: (1,6); (1,8);
1 to 42: (1,6); (1,8); (25,42); (26,36);
1 to 43: (1,6); (1,8); (25,42); (26,36);
1 to 44: (1,6); (1,8);
1 to 45: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 46: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 47: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 48: (1,6); (1,8); (36,40);
1 to 49: (1,6); (1,8); (35,42);
1 to 50: (1,6); (1,8); (35,42);
1 to 51: (1,6); (1,8); (33,48);
1 to 52: (1,6); (1,8); (33,48); (40,45);
1 to 53: (1,6); (1,8); (33,48); (40,45);
1 to 54: (1,6); (1,8); (42,45);
1 to 55: (1,6); (1,8); (44,45);
1 to 56: (1,6); (1,8); (40,54);
1 to 57: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 58: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 59: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 60: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 61: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 62: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 63: (1,6); (1,8); (48,50);
1 to 64: (1,6); (1,8); (48,56);
1 to 65: (1,6); (1,8); (48,56);
1 to 66: (1,6); (1,8); (48,63);
1 to 67: (1,6); (1,8); (48,63);
1 to 68: (1,6); (1,8); (48,65);
1 to 69: (1,6); (1,8);
1 to 70: (1,6); (1,8); (55,56); (56,60);
1 to 71: (1,6); (1,8); (55,56); (56,60);
1 to 72: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 73: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 74: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 75: (1,6); (1,8); (54,64); (60,63);
1 to 76: (1,6); (1,8); (54,64);
1 to 77: (1,6); (1,8); (54,64);
1 to 78: (1,6); (1,8); (65,66);
1 to 79: (1,6); (1,8); (65,66);
1 to 80: (1,6); (1,8); (65,66); (65,72);
1 to 81: (1,6); (1,8);
1 to 82: (1,6); (1,8);
1 to 83: (1,6); (1,8);
1 to 84: (1,6); (1,8);
1 to 85: (1,6); (1,8); (64,75); (72,77);
1 to 86: (1,6); (1,8); (64,75); (72,77);
1 to 87: (1,6); (1,8); (64,75); (68,75); (72,77);
1 to 88: (1,6); (1,8); (60,88); (64,75); (72,77);
1 to 89: (1,6); (1,8); (60,88); (64,75); (72,77);
1 to 90: (1,6); (1,8); (75,78);
1 to 91: (1,6); (1,8);
1 to 92: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 93: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 94: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 95: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 96: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 97: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 98: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 99: (1,6); (1,8); (72,92); (75,96);

 

5. 复杂度分析

对于每一种n的取值进行分析。取值范围为[1,n]，那么全集的元素个数为C(n, 2)，即n(n-1)/2，故构造全集的复杂度为O(n(n-1)/2)=O(n^2)。假设每次推导的复杂度均为O(f(m))，那么4次推导的复杂度为O(4*f(m))=O(f(m))，因此4次推导的复杂度以其中最大的一次为准。又因为推导函数的执行过程相同，算杂度只和输入的集合元素个数相关，故甲的第一次推导起决定作用。设输入的集合元素个数为m，在推导过程中并没有删除元素，两种循环的执行次数相同，且在bros末尾添加元素的复杂度为O(1)，因此复杂度为O(m^2)；后面的排序去重操作的复杂度为O(m*logm)。综上，推导函数的复杂度为O(m^2)。将m=n^2代入，得到算法整体复杂度为O(n^4)。

 

四、扩展

1. 进一步发散

对于两个数不相同的设定，这道题只有在取值范围是[1, 16]的前题下有唯一解：1和8。如果我们更改推导的过程，是否可以增加能推导出唯一解的取值范围的数量呢？答案是肯定的。显然两个人中只要有一个人推导成功，那么这个游戏将在本轮或下一轮结束（取决于是乙先推导出还是甲先推导出），也就是说在某个人推导出一对确定的拆分后，再让他推导发言是没有意义的。因此只能够给甲乙增加“不知道”的推导，才符合事实和逻辑。那我们尝试给甲增加一次“不知道”的推导，看看结果如何。这样两人对话就变成了：

甲：“我不知道这两个数是什么”，乙：“我也不知道”，甲：“我还是不知道”，乙：“那我就知道了”，甲：“那我也知道了”。

对应于算法就是将甲的第二次推导判定条件更改为：“std::less_equal<ulong>()”，这样就得到了一组解，其中具有唯一解的取值范围列举如下：

1 to 14: (5,14);
1 to 18: (7,18);
1 to 19: (7,18);
1 to 21: (12,20);
1 to 24: (10,24);
1 to 25: (14,24);
1 to 27: (15,24);
1 to 28: (15,28);
1 to 29: (15,28);
1 to 32: (15,32);
1 to 33: (16,33);
1 to 38: (24,35);
1 to 45: (28,45);
1 to 46: (28,45);
1 to 47: (28,45);
1 to 48: (28,48);
1 to 49: (32,45);

其中最小的唯一解取值范围是[1,14]，这两个数是5和14。这里要注意的是：[1, 49]的取值范围内有唯一解32和45，不代表[1, 50]的范围内有唯一解。事实上若取值范围设定为[1, 50]是无解的。

 

2. 练习

请读者思考以下3道练习题，其中第3道题尚未被解决。

1. 如果两个数可以相同，那这道题是否有唯一解？如果有，解是什么？请用程序实现。
2. 若取值范围的设定不超过[1, 100]，即从[1,2]到[1,100]，存在唯一解的推导过程最多有几轮？
3. 要算出1到50000取值范围内的解，上述程序算法将遇到性能瓶颈，请问有什么办法解决？