UVa OJ 135 - No Rectangles (没有矩形)

Problem
问题

Consider a grid such as the one shown. We wish to mark k intersections in each of n rows and n columns in such a way that no 4 of the selected intersections form a rectangle with sides parallel to the grid. Thus for k = 2 and n = 3, a possible solution is:
想象一个n行n列的网格，我们要在每行每列都标注k个交点，使得这些交点中的任意4个所构成的矩形（如果可以构成矩形），都不存在与网格线平行的边。比如k=2和n=3的情况，可能的解如下：

 

 

It can easily be shown that for any given value of k, k²-k+1 is a lower bound on the value of n, and it can be shown further that n need never be larger than this.
易知，对于任意的k，n的最小值为：k²-k+1。更进一步来讲，n也不会比这个值更大。

Write a program that will find a solution to this problem for k≤32, k-1 will be 0, 1 or prime.
写一个程序，计算所有k≤32的解。k-1可能是0，1或任何素数。

 

Input and Output
输入与输出

Input will consist of some values for k, one of each line. For each value of k, output will consist of n lines of k points indicating the selected points on that line. Print a blank line between two values of k.
输入包括一组k的值，每个一行。对每一个k值，要输出n行数，各行中的每个数代表在该行中选择的交点编号。每组k值的输出之间要有一个空行。

 

Sample input
输入示例

2
1

 

Sample output
输出示例

1 2
1 3
2 3

1

 

Analysis
分析

有趣的找规律题目，我想不会有人用递归的办法去暴力破解吧？一拿到题，我当时就懵了，想了好久没有理出头绪来。后来觉得光靠空想根本不可能解决问题，便找来尘封已久的棋盘来摆了一下，结果豁然开朗。强烈建议您先别急着看解析，想办法摆一下棋盘，或着在坐标纸上画一下。这是个锻炼思维的好机会，直接看解析就很没意思了。

摆的方法是非常直接的，第一行直接摆在前面，下面每行在不于上面的行冲突（构成矩形）的情况下，尽量往前摆就OK了。下图是k=5的情况：

 

 

仔细看看，应该发现规律了吧。还没有？再看下图：

 

 

从第6行开始，以下每4行为一组，每组编号用i表示，i=(0, 1, 2, 3)；每组中的4行用j表示，j=(0, 1, 2, 3)；每行中从第6列开始，右边每4列为一组，每组编号用s表示，s=(0, 1, 2, 3)。这里用s是为了避免和上面已经出现的k产生混淆。

(i, j, s)为一个三元组，现在要求的就是(0, 0, 0)到(3, 3, 3)，一共4×4×4=64个值。i=0时，规律很明显，(0, j, s)=5 + s * (k - 1) + 1。式中第一个5是空出前面的5个格，s * (k - 1)计算当前4×4方块的起点，后面加1是为了保证数字从1开始，而不是0。

再看(1, 0, k)到(2, 0, k)，第一个4×4方块（橙色）和上面的（黄色）排列是一样的，只是第二个方块（蓝色）比上面的（青色）向右移动了一格。由此可推知公式：

• (j + (s * i)) % m + s * m + k + 1

再用下面的两排验证此公式，都成功。现在才明白为什么n=k²-k+1，原来n=k+(k-1)(k-1)，展开即得原式。这道题虽然解开了，但是这个公式我没有能够证明，这里面可能还蕴涵着更深奥的数理逻辑问题。如果您知其所以然，望不吝赐教！

 

Solution
解答

#include <iostream>
using namespace std;
//主函数
int main(void) {
	//循环处理每一组输入
	for (int k, nFirst = 1; cin >> k; nFirst = 0) {
		//不是第一次输出时，前面要加空行
		if (nFirst == 0) {
			cout << endl;
		}
		int m = k - 1;
		//输出头部的k行
		for (int i = 0; i < k; ++i) {
			cout << 1;
			for (int j = 1; j < k; ++j) {
				cout << ' ' << i * m + j + 1;
			}
			cout << endl;
		}
		//以下算法请参照图示及相关文档
		for (int i = 0; i < m; ++i) {
			for (int j = 0; j < m; ++j) {
				cout << i + 2;
				for (int s = 0; s < m; ++s) {
					cout << ' ' << (j + (s * i)) % m + s * m + k + 1;
				}
				cout << endl;
			}
		}
	}
	return 0;
}