树状数组区间更新
树状数组区间更新
在今天的文章开始之前，给大家提一个建议，由于线段树和树状数组这两个结构的分析有很多联系，因此，建议没有看前几篇文章的朋友一定需要了解一下前面的内容。链接如下：
上篇文章我们讨论了树状数组的基本结构以及它最擅长的两个功能：单点更新和区间求和，今天，我们来接着上一篇文章的内容继续深入研究。上篇文章我们是将树状数组和线段树进行对比讲解的，既然线段树的章节我们介绍了区间求和、区间最值、单点更新、区间更新，那么对应的，树状数组也应该有个区间更新吧。但我们从上篇文章中的分析可以看出来，树状数组确实不擅长区间更新，它也无法进行区间更新，这是不是就意味着文章写到这里就结束了呢？当然不是，作为一个求真务实从不坑蒙拐骗的诚信公众号，我当然不会做出那种用标题骗阅读量的事情。那之前说的树状数组不会、不能进行区间更新是怎么回事？答案就是树状数组可以利用某些手段（比如单点更新）来达到区间更新的目的，让结果和区间更新后的结果相吻合，看似实现了区间更新，实际是伪区间更新。所以，坑蒙拐骗的是它，可不是我。没有看过上篇文章的建议先看上篇文章（树状数组（Binary Indexed Tree,BIT））了解基础知识，便于更好的理解本篇文章。
既然它是可以实现伪区间更新的，我们做题的时候又只是追求输出结果的正确，不妨就花几分钟看一看到底它是怎么实现的？
在此我们称事先给定的数组为原数据数组，按照树状数组结构实现的数组称为树状数组，本篇文章中讨论的区间更新方式是给原数据数组一段区间的所有元素加上一个数值 a 。
从上篇文章中我们可以知道，树状数组的区间求和实际是通过区间两端点的前缀和相减实现的，检验区间更新是否正确的方式便是区间求和，既然区间求和只需要保证区间两端点的正确性，就给我们留出了可乘之机，我们可以在进行区间更新的时候只对两端点进行更新操作，保证数值正确即可。现在，我们就需要对更新后整个树状数组的特征进行观察，找出规律。
假设某次给原数据数组区间 i ～j 上的所有元素均加 a，此时若要查询某一区间 p～q 的元素和，会是怎样的结果呢？我们首先应该分别求解 p 和 q 位置的前缀和，p 和 q 求前缀和的方法是一样的，所以我们研究的问题变成了区间更新和单点查询，那么一般的我们假设求 x 的前缀和，如下图所示：
上图中， i～j 表示区间更新的范围，x 表示待求前缀和的结束元素位置， sum[x]表示区间更新前 x 位置的前缀和，a 表示区间更新过程中对每个元素增加的值，纵坐标 y 表示区间更新后相应的前缀和的增加量，即 y(x)+sum[x] 的值为区间更新后x位置的前缀和。由图可知，
在 x<i 时，y 的值恒为 0
在i <= x <= j 时，y的值随着 x 的增加而递增
在 x > j 时，y的值恒为 (j - i +1) * a
我们知道，在单点更新的时候，对一个位置 x 的值加 a 时，位置在 x 之前的所有前缀和都是没有影响的，受影响的是从 x 开始之后的所有位置的前缀和。
知道了这些之后，我们就可以利用上篇文章中实现的单点更新和区间查询进行区间更新和单点查询了，由上图可知，在 x < i 和 x > j 的范围内（待更新区间之外），只要区间更新的加数 a 确定，这些前缀和便是固定值，不需要知道单点查询时候的位置，因此这部分工作可以在更新的时候实现，具体如何实现呢？
观察上图，我们发现 在i <= x <= j 时，前缀和增量 y = (x-i+1)*a = x*a -(i-1)*a ；在 x > j 时，前缀和增量 y = (j - i +1 )*a = j*a - (i-1)*a ; 由此可以得出结论，在 x >= i 时，y 的表达式中均包含 -(i-1)*a ，所以根据前缀和的规律，我们利用单点更新将此值加在 i 位置的前缀和上，则可以达到给 x >= i 范围内的所有前缀和均加上了此值。在 i <= x <= j 的区间范围内，我们发现前缀和增量表达式 y 除 -(i-1)*a 这部分外，剩余的部分为 x*a ，x 即为单点查询的位置，这个值不确定，只有在某一次查询的时候才能被确定，因此，这个操作需要在单点查询的时候完成。在 x > j 的范围内，前缀和表达式 y ＝ j*a - (i-1)*a ， 除已经在 x = i 的位置处理的 -(i-1)*a 这部分之外，剩余部分为 j*a ，这部分值只与区间更新的端点和更新的加数 a 有关，因此可以在更新时候处理，这时候我们需要将 j＋1 位置的前缀和由 sum[ j+1 ] 更新为 sum[ j+1] + j*a 。至此，除了查询 i <= x <= j 范围的值不正确之外，其余值都能够保证正确性。
当单点查询的位置 x 在 i~j 范围内的时候，我们需要在 x 的位置 单点更新前缀和 sum[ x ] 为 sum[x] +x*a 。现在，我们已经将三个区间都处理结束了，对吗？但是，这是真的结束吗？ 大家是否还记得单点更新的操作？操作是这样的：在单点更新的时候，对一个位置 x 的值加 a 时，位置在 x 之前的所有前缀和都是没有影响的，受影响的是从 x 开始之后的所有位置的前缀和。这也就意味着当单点查询的位置 x 在 i~j 范围内的时候，我们对 x 位置的单点更新实际上已经影响到了我们在区间更新时候已经处理好的区间 x > j ，因此我们需要将此处因单点更新加的值 x＊a 减去。这也就意味着，我们需要将加数 a 存储起来，否则，等到单点查询的时候，加数 a 都已经变成若干次区间查询后的加数了。但由于，同一个区间的加数多次叠加后，结果还是正确的。因此，我们可以仿照线段树时的 lazy_tag 想法存储每个节点对应的加数（线段树 lazy_tag相关知识详见：线段树第二弹（区间更新））。
对于某一个具体的加数该如何存储和维护呢？有了前面的分析思路，我们应该可以用两个树状数组分别存储前缀和与加数，其中一个树状数组 lazy_tag来存储加数，假设某次区间更新的范围为 i～j ，加数为 a ，我们需要做的操作为：
lazy_tag[i] += a ; //给 x >= i 的所有节点加数均加 a
lazy_tag[j+1] -= a ; // 给 x >j 的所有节点均减 a ，消除 i 位置处理的影响
这样，就能保证仅对 i ～j 范围内的加数加了 a ，以此配合区间更新时的操作保证所有前缀和的正确性。此处，对加数的处理和原问题（区间更新）处理思路是一样的，给某一区间的所有加数均加 a 的问题实质就是区间更新的问题。因此此处，某一位置 x 的加数不是 lazy_tag[x] 的值，而是 lazy_tag 树状数组的第 x 位置前缀和。
此时，原数据的前缀和与加数的分布为：
理论知识如上，接下来，我将为大家展示代码实现部分，希望可以帮助大家理解本篇文章。如下所示：
今天的分享到此结束，大家如果发现文章中写的不合理的地方，欢迎在下方留言区留言，不胜感激。
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