UVA10870 Recurrences （矩阵快速幂及构造方法详解）
题意：
F（n） = a1 * F（n-1） + a2 * F（n-2）+ ···· + ad * F（n-d）。
求给你的n 。 很明显这是一道矩阵快速幂的题目。
题解：
[Fn-1, Fn-2, Fn-3, ···, Fn-d] * A（矩阵） = [Fn, Fn-1, Fn-2, ···, Fn-d+1] 。
Fn = 第一个矩阵 * A的第一列， 所以A矩阵的第一列为（a1, a2 , ··· ad）。
Fn = 第一个矩阵 * A的第二列， 所以A矩阵的第二列为（1， 0， 0，···， 0）。
同理可以推出整个A矩阵：
a1 1 0 ··· 0
a2 0 1 ··· 0
a3 0 0 ··· 0
··· 0 0 ··· 1
ad 0 0 0 0
当n 小于等于d 的时候 直接输出。
[ f(d), f(d-1), f(d-2), ···, f(2), f(1) ] * An-d = [Fn, Fn-1, Fn-2, ···, Fn-d+1] 。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <string> 5 #include <algorithm> 6 #include <cmath> 7 #include <vector> 8 #include <queue> 9 #include <map> 10 #include <stack> 11 #include <set> 12 using namespace std; 13 typedef long long LL; 14 #define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) 15 #define pb push_back 16 #define mp make_pair 17 const LL INF = 0x7fffffff; 18 const int inf = 0x3f3f3f3f; 19 const int maxn = 10+10; 20 int mod; 21 struct Matrix 22 { 23 LL c[maxn][maxn]; 24 };//Matrix 矩阵 25 Matrix mult(Matrix a, Matrix b, int len)//矩阵乘法 26 { 27 Matrix hh={0}; 28 for(int i=0;i<len;i++) 29 for(int j =0;j<len;j++) 30 for(int k = 0;k<len;k++){ 31 hh.c[i][j] += (a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod; 32 hh.c[i][j] %= mod; 33 } 34 return hh; 35 } 36 Matrix qpow_Matrix(Matrix a, int b, int len) 37 { 38 Matrix base = a; 39 Matrix ans; 40 //初始化ans = 1。 41 for(int i =0;i<len;i++) 42 for(int j =0;j<len;j++) 43 if(i==j) ans.c[i][j] = 1; 44 else ans.c[i][j] = 0; 45 // 46 while(b){ 47 if(b&1) ans = mult(ans, base, len); 48 base = mult(base, base, len); 49 b>>=1; 50 } 51 return ans; 52 } 53 int a[maxn]; 54 int f[maxn]; 55 void solve(int d, int n, int m){ 56 mod = m; 57 for(int i = 1;i<=d;i++) cin >> a[i]; 58 for(int i = 1;i<=d;i++) cin >> f[i]; 59 60 Matrix begin={0}; 61 for(int j = 0;j<d;j++){ 62 begin.c[0][j] = f[d-j]%mod; 63 } 64 Matrix A={0}; 65 for(int j = 0;j<d;j++) 66 A.c[j][0] = a[j+1]%mod; 67 for(int j = 0;j<d;j++){ 68 A.c[j][j+1] = 1; 69 } 70 if(n<=d){ 71 cout << f[n]%mod << endl; 72 return; 73 } 74 Matrix temp = qpow_Matrix(A, n-d, d); 75 Matrix ans = mult(begin, temp, d); 76 cout << ans.c[0][0]%mod << endl; 77 return; 78 } 79 int main() { 80 #ifdef LOCAL 81 freopen("input.txt", "r", stdin); 82 // freopen("output.txt", "w", stdout); 83 #endif 84 // ios::sync_with_stdio(0); 85 // cin.tie(0); 86 int d, n, m; 87 while(cin >> d >> n >> m){ 88 if(d+n+m==0) break; 89 solve(d, n, m); 90 } 91 return 0; 92 }
