[HDU3480] Division [四边形不等式dp]

题面：

传送门

思路：

因为集合可以无序选择，所以我们先把输入数据排个序

然后发先可以动归一波

设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示前j个数中分了i个集合，$w\left(i\right)\left(j\right)$表示$i$到$j$的闭区间分到一个集合里的花费

然后就有方程式：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i-1\right]\left[k-1\right]+w\left(k\right)\left(j\right)\right)$

可是这道题$n=10000,m=5000$，目测这样跑区间$dp$时间复杂度依然很捉急啊

没关系，我们请出四边形不等式优化

容易证明，$w$函数满足四边形不等式，同时满足区间单调性

因此$dp$函数也满足四边形不等式，可以优化

优化完以后是$O\left(nm\right)$的效率，AC～

 

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
unsigned int inf=0x7fffffff;
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,m,a[10010];
unsigned int dp[5010][10010];short s[5010][10010];
unsigned int w(int l,int r){
    return (a[l]-a[r])*(a[l]-a[r]);
}
int main(){
    int i,j,k,len,T=read(),cnt=0;unsigned tmp;
    while(T--){
        n=read();m=read();
        for(i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
        sort(a+1,a+n+1);
        for(i=0;i<=m;i++) dp[i][i]=0,s[i][i]=i;
        for(i=m+1;i<=n;i++) s[m+1][i]=i;
        for(len=1;len<n;len++){
            dp[0][len]=inf;
            for(i=1;i<=m;i++){
                j=i+len;if(j>n) break;
                dp[i][j]=inf;
                for(k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                    if((tmp=dp[i-1][k-1]+w(k,j))<dp[i][j]){
                        dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
        printf("Case %d: %d\n",++cnt,dp[m][n]);
    }
}