浅谈“离散时间信号的傅里叶变换”
之前学习计算机视觉，虽然敲了不少代码，但一直没弄懂傅里叶变换以及图像滤波背后的数学含义，只能对着现成的公式照葫芦画瓢，让我内心觉得深深的不安。好在通过这段时间在华为的实习，恶补了一下数字信号处理相关的基础知识，总算是把这方面的坑给填上了。以下为这几天的学习成果，也就是我自己对傅里叶变换的理解。
这篇博文的前三段解释了一些比较基础的概念，对理解傅里叶变换有帮助。
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一、离散时间信号
要弄懂离散时间信号的傅里叶变换，首先要弄清楚什么是信号，而什么又是离散时间信号。（虽然感觉像是废话，可作为一个软件工程的童鞋我一开始对这些东西真的没概念啊T_T）
所谓信号，其实就是包含一个或多个变量的函数，举几个例子：语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，黑白照片可以表示为亮度随二维空间坐标变化的函数。（此段内容来自于奥本海姆的《信号与系统》）
所谓离散时间信号，又名数字信号，它是由数字序列表示的离散函数 {x[n]}, -∞<n<+∞，其中 n 为整数。一般情况下，为了方便起见，我们常将 {x[n]} 简写为 x[n] 。常见的离散时间信号有：
①单位取样序列：
②单位越阶序列：
③矩形序列：
（以上内容来自于华中科大的教材《数字信号处理》）
二、离散时间系统
在弄懂离散时间信号的傅里叶变换之前，我们还要弄清楚一个概念：离散时间系统。
所谓离散时间系统，就是把输入的离散序列 x[n] 映射成输出序列 y[n] 的唯一变换，用 T[] 表示。
其中，满足线性叠加原理的系统被称为线性系统，即：
① T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻n无关，则称其为非移变系统，即：若有
② T[x(n)] = y(n)，则有T[x(n-k)] = y(n-k)
同时满足以上两个条件的系统被称为线性非移变系统。
三、卷积
相信学习过计算机视觉的同学对这个词一定不会陌生，卷积是线性非移变系统的特性，定义如下：
设 T[] 为线性非移变系统，当输入为单位取样序列 δ[n] 时，定义输出 
（其中，三角形下带一个等号的符号表示“定义为”），h[n] 称为单位取样响应（或单位冲激响应），对于任意的 x[n] ，下列等式成立：
而这个等式，就被称为离散卷积（或线性卷积）。（上式的推导利用了单位取样序列只在 0 点处取 1 的特性。）
显而易见的，任何线性非移变系统都可以通过它的单位取样响应 h[n] 来表示，而且输入 x[n] 与输出 y[n] 满足离散卷积关系，表示为 y[n] = x[n] * h[n] 。
离散卷积满足以下的运算规律：
①交换律： x[n] * h[n] = h[n] * x[n]
②结合律： x[n] * h1[n] * h2[n] = x[n] * ( h1[n] * h2[n] )
③分配律：x[n] * ( h1[n] + h2[n] ) = x[n] * h1[n] + x[n] * h2[n]
四、傅里叶变换
下面开始进入正题，说说什么是傅里叶变换。
傅里叶说：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数sin(ωix + φi)叠加的形式，其中每个正弦函数都具有不同的系数 Ai，式中的 ωi 为频率。
根据这句话，我们可以把傅里叶变换推广到非周期函数上：非周期函数可以被看成具有无穷大周期的周期函数，因此可以表示为无限个不同频率的正弦函数叠加的形式，而每个正弦函数所对应的系数都趋近于无穷小（注意：这些趋近于无穷小的系数是不相等的）。当定义中提到的函数是一个离散时间信号时（而正如我在前面所提到的，信号就是函数），它的傅里叶变换详细表示如下：
此外，傅里叶变换还存在逆变换：
式中的 X(ejω) 是一个以 2π 为周期的连续函数，它被称为信号的频域函数，而信号的原函数 x[n] 被称为时域函数（此时，默认信号以时间作为横坐标，当横坐标为空间坐标时，原函数被称为空域函数）。其中，ejω = cosω + jsinω，j = √(-1)， ω 为频率。
傅里叶变换的函数图像被称为傅里叶频谱，它的横坐标是傅里叶变换所分离出正弦信号的归一化频率 ω ，纵坐标是当前频率正弦信号的幅度 X(ejω) 。
在傅里叶频谱中，横坐标 ω 接近 0 的部分被称作低频信号，对应了原信号 x[n] 中变化缓慢的成分（根据傅里叶逆变换公式，原函数 x[n] 为 X(ejω)ejωn 关于 ω 的积分，而之前说过，X(ejω) 是 ejω 的加权系数，与 n 的取值无关，在这里可以暂时忽略。因为 ejωn = cosωn + jsinωn，这也就意味着 ω 越小，ejωn 的周期越大，当 ω 无限趋近于 0 时，可以将 ejωn 看做是一条水平直线，此时 X(ejω) 的值越大，说明 ejωn 在原函数中所占的比重越大，也就是原函数 x[n] 越接近于一条直线，即变化程度越小。）；相反地，横坐标 ω 很大的部分被称作高频信号，对应了原信号 x[n] 中变化剧烈的成分。
简单来理解， X(ejω)就是傅里叶变换中的系数Ai，也就是频域函数的纵坐标Y；ejωn就是傅里叶变换中的sin(ωix + φi)，其中 ω是频域函数的横坐标X。
花了两个晚上总算写完了，话说用word码公式还真是累啊。。。_(:3> ∠)__
