背包问题（01背包，完全背包，多重背包）
2012-05-06 18:27 捣乱小子 阅读(48468) 评论(14) 编辑 收藏 举报写在最前面的
近日为以下琐事烦身：
差不多要向学院提交项目申请了，本来是想做个多模式的IM系统的，可是跟往届通过审核的项目比起来，缺乏创新和研究价值，所以在文档上要多做手脚，花点心思。
- 一大堆的作业，每每期中都是这样。
- 一直想读的DirectUI开源代码一直没有进展下去。
- 准备五月底的软件设计比赛。
- 魔兽玩的好菜。
- 空虚寂寞，想找个女友...
01背包
不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.
死亡骑士:"我要买道具!"
地精商人:"我们这里有三种道具,血瓶150块一个,魔法药200块一个,无敌药水350块一个."
死亡骑士:"好的,给我一个血瓶."
说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.
地精商人:"我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿."
死亡骑士:"......你妹"
死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.
现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.
上面就是一个01背包问题。上面的问题可以描述为：
有n个物品，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？
思路：每个物品无非是装入背包或者不装入背包，那么就一个一个物品陆续放入背包中。可以有
tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j]) ({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})
其中i表示放第i个物品，j表示背包所容纳的重量，那么tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放入第i物品，刚开始接触会有疑问，tab[i-1][j-weight[i]]这个值，可以这样理解：tab[i-1][j]为装到上一个物品在背包j容量时的最佳值，那么如果我要求在j容量的时候放入现在的i物品的价值，那么是不是要先得到容量为（j-weight[i]）时候的价值，即先得到 tab[i-1][j-weight[i]] ，所以 tab[i-1][j-weight[i]]+value[i] 为放入第i物品的价值； tab[i-1][j] 就是不放入第i个物品。
动态规划的思维就在这里体现了，即tab[i-1][j]是tab[i][j]的最优解（我觉得上面的思路讲解较容易理解）。
例子：5个物品，（重量，价值）分别为：（5，12），（4，3），（7，10），（2，3），（6，6）。
|
背包容量 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
5物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
12 |
12 |
15 |
15 |
18 |
22 |
22 |
25 |
25 |
|
4物品 |
0 |
0 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
12 |
12 |
15 |
15 |
18 |
22 |
22 |
25 |
25 |
|
3物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
22 |
22 |
22 |
22 |
|
2物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
12 |
12 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
|
1物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
故有：
for i=[weight[0],total]
tab[n-1][i] = weight[0]; // n为物品数量
for i=[1,n)
for j=[weight[i],total]
tab[n-i-1][j] = max(tab[n-i][j-weight[i]]+value[i],tab[n-i][j])
/* print tab[0][total] */
完全背包
不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.
死亡骑士:"我要买道具!"
地精商人:"我们这里有三种道具,血瓶150块无限个,魔法药200块无限个,无敌药水350块无限个."
死亡骑士:"好的,给我一个血瓶."
说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.
地精商人:"我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿."
死亡骑士:"......你妹"
死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.
现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.
上面的魔兽场景描述跟上面的只有小小的差异，就是物品有一个变为了无限个，这就是完全背包问题。完全背包问题可以描述为：
有n种物品，每种物品有无限个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？
有了上面01背包的式子，这题会变的容易理解很多，只是这个式子要有小小的改动。01背包在二维数组上操作，就是为了防止一个物品被放入多次的情况。因此一维数组可以满足完全背包的问题。如下：
tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})
根本就是一样的，只不过物品可以被放多次。
|
背包容量 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
i物品 |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
故有：
for i=[0,n)
for(j=weight[i]; j<=total; j++)
tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j])
/* print tab[0][total] */
多重背包
不死族的巫妖王发工资拉,死亡骑士拿到一张N元的钞票(记住,只有一张钞票),为了防止自己在战斗中频繁的死掉,他决定给自己买一些道具,于是他来到了地精商店前.
死亡骑士:"我要买道具!"
地精商人:"我们这里有三种道具,血瓶150块a个,魔法药200块b个,无敌药水350块c个."
死亡骑士:"好的,给我一个血瓶."
说完他掏出那张N元的大钞递给地精商人.
地精商人:"我忘了提醒你了,我们这里没有找客人钱的习惯的,多的钱我们都当小费收了的,嘿嘿."
死亡骑士:"......你妹"
死亡骑士想,与其把钱当小费送个他还不如自己多买一点道具,反正以后都要买的,早点买了放在家里也好,但是要尽量少让他赚小费.
现在死亡骑士希望你能帮他计算一下,最少他要给地精商人多少小费.
上面的魔兽场景描述跟上面的又有了小小的差异，就是物品有一个变为了有限个，问题也就变成了多重背包问题。
有n种物品，每种物品有amount[i]个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？
多重和完全更接近，多了数量的限制，用一个count[n]计数数组来限制物品i的数量。当放入第i个物品是较优值的时候，count[i]=count[j-weight[i]]+1（j 的含义请查看代码）;这样做是因为，放入第i个物品的操作是基于count[j-weight[i]]放入的，所以当count[i-weight[i]]>=amount[i]时，就要阻止放入即便放入第i个物品是较优值。 故有：
for i=[0,n)
/* 将count数组清零 */
for(j=weight[i]; j<=total; j++)
if count[j-weight[i]]<amout[i]
tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);
if tab[j]=tab[j-weight[i]]+value[i] // 决定放入i是较优解
count[i] = count[j-weight[i]] + 1
else if tab[j]=0 // 防止装第1个物品和装其他物品的情况
tab[j] = tab[j-1],count[j] = count[j-1]
else count[j] = count[j-1]
/* print tab[0][total] */
总结
总结都在上面了。
附件：
本文完 Sunday, May 06, 2012
