洛谷P1390 公约数的和 欧拉函数+容斥+线性筛
洛谷P1390 公约数的和
标签
- 欧拉函数
- 线性筛
- 容斥
前言
- 被自己以前的博客坑了...
简明题意
- 给定\(n(n <= 2e6)\),需要你求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)
\]
思路
- 首先我们把原式改成枚举gcd,然后用gcd的值去乘以出现的次数,于是原式等价于:\[\sum_{d=1}^n\left(d*\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n[gcd(i,j)==d]\right) \]
- 看到\([gcd(i,j)==d]\)是不是很激动?(不激动的同学应该是刚刚入门,基础还不牢固,那就建议看看我关于这类题的其他入门级别的博客)
这里我再啰嗦一下,看到\([gcd(i,j)==d]\)后,首要的工作是通过改变枚举上限,把它写成\([gcd(i,j)==1]\)的形式,为什么要这样做?因为换成\([gcd(i,j)==1]\)这种形式,既可以用欧拉函数快速求出,也可以用莫比乌斯函数性质替换从而降低复杂度。而通常,对于\(\sum_i\sum_j[gcd(i,j)==1]\),如果\(i,j\)的上限相同,则用直接欧拉函数求,如果\(i,j\)的上限不相同,则应该用莫比乌斯函数性质替换\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)
- 这里\(i,j\)的范围是一样的,因此我们考虑用欧拉函数求。但是$$\sum_{i=1}n\sum_{j=i+1}n[gcd(i,j)==d]$$我们只知道
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]
\]
的求法,如果j不从1开始枚举,那就不知道怎么求了。这时候,我们用容斥。我们回到最原始的式子:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)
\]
- 很容易发现,实际上有
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^jgcd(i,j)
\]
因为这两半是对称的,而又有
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^jgcd(i,j)+对角线的gcd之和
\]
- 对角线的ij是相等的,而且gcd(i,i)就等于i,与就是,对角线gcd之和=\(\sum_i^ni=\frac {(1+n)*n}2\),所以,
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)= \frac {2*\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ngcd(i,j)-\frac
{(1+n)*n}2}{2}\]
- 现在问题就转换成求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)
\]
- 改为枚举\(gcd(i,j)\)\[\sum_{d=1}^n\left(d*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]\right) \]
- 换\(gcd(i,j)==1\)
\[\sum_{d=1}^n\left(d*\sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac nd]}[gcd(i,j)==1]\right)
\]
- 其中
\[\sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac nd]}[gcd(i,j)==1]=2*pre\phi([\frac pd])-1
\]
- 原式:
\[\sum_{d=1}^n\left(d* \left(2*pre\phi([\frac pd])-1\right)\right)
\]
- 接下来先把\(\phi\)线性筛出来,然后前缀和一下,最后的复杂度就是\(O(n)\)了
注意事项
- 注意是
\[\sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac nd]}[gcd(i,j)==1]=2*pre\phi([\frac pd])-1
\]
而不是
\[\sum_{i=1}^{[\frac nd]}\sum_{j=1}^{[\frac nd]}[gcd(i,j)==1]=2*\phi([\frac pd])-1
\]
不要把那个前缀和搞成\(\phi([\frac pd])\)
总结
- 不要把那个前缀和搞成\(\phi([\frac pd])\)...
AC代码
#include<cstdio>
const int maxn = 2e6 + 10;
bool no_prime[maxn];
int prime[maxn], phi[maxn];
long long pre[maxn];
int shai(int n)
{
int cnt = 0;
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!no_prime[i])
prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
{
no_prime[prime[j] * i] = 1;
phi[prime[j] * i] = (i % prime[j] == 0) ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
pre[i] = pre[i - 1] + phi[i];
return cnt;
}
void solve()
{
long long n;
scanf("%lld", &n);
shai(n);
long long ans = 0;
for (int d = 1; d <= n; d++)
ans += (2 * pre[n / d] - 1) * d;
printf("%lld\n", (ans - (1 + n) * n / 2) / 2);
}
int main()
{
solve();
return 0;
}
作者:danzh
QQ:1244536605
CSDN(和博客园同步):https://blog.csdn.net/weixin_42431507
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朋友们,虽然这个世界日益浮躁起来,只要能够为了当时纯粹的梦想和感动坚持努力下去,不管其
它人怎么样,我们也能够保持自己的本色走下去。
—clj