矩阵快速幂小结

矩阵快速幂大概是用来解决这样一类问题，当你知道了一个递推式比如a[n]=a[n-1]+a[n-2] 题目要求你求出a[n]。如果n大于1亿怎么办？

不可能用for。解决办法就是根据递推式构造一个矩阵A，最终会化简为a[n]=A^n类似的形式，再利用快速幂，快速的求出A^n,所以原先的

O(n)就变成了O(logn)

例如POJ 3233 递推关系是 s[k]=s[k-1]+A^k;

所以s[K]=( | 1 0| ^n )*s[1]

| 1 A|

下面给出矩阵快速幂的模板

矩阵连乘：

struct Node
{
    int a[25][25];
};
int n,m,x,y,k,t;
Node multiply(Node a,Node b)
{
    Node c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!a.a[i][j]) continue;

//减枝，有些题目写减枝才可以过，n有些大的时候。有的题目n有500，n^3就会炸了，这类题目，要观察矩阵的形式，可以把矩阵转
换的，用n^2就可以完成连乘，例如POJ 3150 后面的例题里有
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                (c.a[i][k]+=(a.a[i][j]*b.a[j][k])%mod)%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

矩阵快速幂：

Node quick(Node a,int x)
{
    Node c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        c.a[i][j]=(i==j?1:0);
    for(x;x>0;x>>=1)
    {
        if(x&1) 
	   c=multiply(c,a);
        a=multiply(a,a);
     }
    return c;
}

练习题目：

http://poj.org/problem?id=3233

题解：

http://blog.csdn.net/dacc123/article/details/51204052

http://poj.org/problem?id=3735

题解:

http://blog.csdn.net/Dacc123/article/details/51204080

http://poj.org/problem?id=3150

题解：

http://blog.csdn.net/dacc123/article/details/51222518

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604

题解：