关于原根的相关知识

　　

原根

阶

阶的定义：设$m>1$，且$gcd(a,m)=1$，那么使得$a^r\equiv 1\pmod m$成立的最小的正整数$r$称为$a$对模$m$的阶，记为$\delta_m(a)$。

 

相关定理：

定理一：

　　若$m>1$并且$gcd(a,m)=1$，又满足$a^n\equiv 1\pmod m$，那么$\delta_m(a)\mid n$。易证。

 

定理二：

　　由定理一可推得：$\delta_m(a)\mid \phi(m)$。

　　证明：

　　　　由欧拉定理$a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod m$可知，又$\delta_m(a)\leq\phi(m)$，再由定理一即得证。

 

 

原根

原根的定义：设$m$为正整数，$a$为整数，如果满足$a$对模$m$的阶等于$\phi(m)$，那么称$a$为模$m$的一个原根。

 

相关定理：

定理一：

　　一个正整数$m$有原根的充要条件是$m=2,4,p^e,2p^e$，其中，$p$奇素数，$e$为正整数。

 

定理二：

　　每一个素数$p$都有$\phi(p-1)$个原根，事实上，每一个正整数$m$都有$\phi(\phi(m))$个原根。

 

定理三：

　　若$g$是$m$的一个原根，则

　　$g,g^2,...,g^{\phi(m)}$

　　各数对$m$取模的非负最小剩余就是小于$m$且与$m$互质的$\phi(m)$个数的一个排列。

 

原根的求法

　　首先求$\phi(m)$的素幂分解式：

　　　　$\phi(m)=p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*...*p_k^{e_k}$

　　然后枚举$g$，若恒满足

　　　　$g^{\frac{\phi(m)}{p_i}}\neq 1\pmod m$，其中$i=1,2,...,k$

　　则$g$是$m$的一个原根。

　　这里暂时不放代码了。