2015 Multi-University Training Contest 1 - 10010 Y sequence

 Y sequence

Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5297

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Mean: 

 有连续数列A={1,2,3,4,5,6,7,8 .....}，将可以表示成a^b次方的数删除，a={1,2,3,4,5...},而2<=b<=r，删除后形成一个新的数列，求这个数列的第n项。

analyse:

很有趣的一道数论题。

对于给定的一个n，如果我们知道1~n中被删除的数字为k个，那么答案一定大于等于n+k，所以向后至少移动k个数。

但是n~n+k这一段中也可能含有被删除的数字，所以我们再求n~n+k这一段中被删除的数字的个数，假设为x1个，那么我们就得到了一个比x更精确的数字x1，即：我们要得到第n项，至少需要从n向后移动x1位。

但是移动x1位后同样还可能存在以上的问题，那么什么时候停止呢？答案是：当本次算的xi和上次算的xi相等时，就说明这个值是固定的了，也就是最终的精确值，代表第n项就是n+xi，也就是最终的答案。

有了这个理论基础后，我们来考虑如何求得1~n中有多少个数字能够表示成次幂形式。

解决这个问题的方法是反函数。幂的反函数是依然是幂函数，指数取导就行。

例：10以内能表示成a^2的数的个数为：pow(10,1/2) ; 100以内能表示成a^4的数的个数是：pow(100,1/4).

还有一个问题：在删除数的时候，a^6的数已经被a^2和a^3的数删过了，这样就造成了重复删除。

这儿就需要容斥原理来解决：只需要删质数次幂的数就行，而且还需要把质数的乘积（多删的）删除的数字加回来。

详情参考大牛博客：http://blog.csdn.net/firstlucker/article/details/46991885

 

Time complexity: O(N)

 

Source code: 

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#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;
long long t, n, r;
const int p[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67};
vector<int> rongchi;
void get_rongchi()
{
      rongchi.clear();
      for( int i = 0; p[i] <= r; ++i )
      {
            int si = rongchi.size();
            for( int j = 0; j < si; ++j )
            {
                  if( abs( p[i]*rongchi[j] ) <= 63 )
                        rongchi.push_back( -p[i]*rongchi[j] );
            }
            rongchi.push_back( p[i] );
      }
}

long long cal( long long x )
{
      if( x == 1 ) return 0;
      long long ans = x;
      for( int i = 0; i < rongchi.size(); ++i )
      {
            long long tmp = ( long long )( pow( x + 0.5 , 1.0 / abs( rongchi[i] ) ) ) - 1;
            if( rongchi[i] < 0 ) ans += tmp;
            else ans -= tmp;
      }
      return ans - 1;
}
long long solve()
{
      get_rongchi();
      long long ans = n;
      while( true )
      {
            long long tmp = cal( ans );
            if( tmp == n )break;
            ans += n - tmp;
      }
      return ans;
}

int main()
{
      ios_base::sync_with_stdio( false );
      cin.tie( 0 );
      cin >> t;
      while( t-- )
      {
            cin >> n >> r;
            cout << solve() << endl;
      }
      return 0;
}
/*

*/