数据结构_浙大数据结构慕课笔记_树（上）

这是我观看浙大数据结构慕课的笔记。帮助自己理清思路，记住知识点。

 

3.1树与树的表示

为什么要有树结构

静态查找：没有插入删除操作，元素位置固定不变。

动态查找：有插入、删除操作。

二分法：适用于对数组进行操作，并且先对数据做排序，时间复杂度为O（logN）。

树形结构：二分法可以用树表示，查找次数就是改元素所在的树的层数。所以树的深度为logN向下取整+1。树形结构适用于动态查找，分层，使时间复杂度基本相当于二分法。

  

研究树==研究二叉树

一个N节点树有N-1条边。

树的实现：结构有一个数据域，两个指针域。指针一个指向左孩子，一个指向下一个兄弟节点。

数旋转45°，就是一颗二叉树。所以学会二叉树，就学会了一般树。

 

例：树的集合称为森林。是否也可以使用“儿子-兄弟”表示法存储森林？如何实现？

先把森林中每一棵树按照  孩子-兄弟  转化为二叉树，显然这些二叉树都是没有右子树的。接下来把第一棵树的根节点定做总的根节点，其左子树作为总的左子树。最后把其他的树作为右子树，加入到根节点中。于是就转化成了二叉树。

 

3.2二叉树及存储结构

一个二叉树i层最多有2^i-1个节点

一个深度为k的二叉树总结点数最多有2^k-1个。

n0=n2+1。

证：（向上，总结点数-1）n0+n1+n2-1=向下：0+n1+2n2

 

数组存储：父节点i/2向下取整，左孩子2i，右孩子2i+1。适用于完全二叉树，或相对完全二叉树空缺较少的二叉树（用空补齐）。

链表存储：存储的数据+两个分别指向左孩子和右孩子的指针域。

 

例：设深度为d（只有一个根结点时，d为1）的二叉树只有度为0和2的结点，则此类二叉树的结点数至少为2d-1。

 

3.3二叉树的遍历

使用链式存储，

先序、中序、后序遍历递归算法的本质是堆栈。所以考虑采用堆栈进行先序、中序非递归遍历算法。后序遍历可能要用两个堆栈。

1.中序遍历非递归算法：

（1）链式存储，并开一个栈。

（2）遇到一个结点，push,按其左指针一路把左孩子push。

（3）直到左孩子为空时，pop栈顶元素并访问，按其右指针把右孩子push。把右孩子作为当前结点。

不断循环（2）（3）while(树不空或堆栈不空)

 

2.（转）后序遍历非递归算法：

先序的访问顺序是root, left, right 假设将先序左右对调，则顺序变成root, right, left，暂定称之为“反序”。

后序遍历的访问顺序为left, right,root ，刚好是“反序”结果的逆向输出。于是方法如下：

（1）反序遍历二叉树，具体方法为：将先序遍历代码中的left 和right 对调即可。

      数据存在堆栈S中。

（2）在先序遍历过程中，每次Push节点后紧接着print结点。

      对应的，在反序遍历时，将print结点改为把当前结点 PUSH到堆栈Q中。

（3）反序遍历完成后，堆栈Q的压栈顺序即为反序遍历的输出结果。

     此时再将堆栈Q中的结果pop并print，即为“反序”结果的逆向，也就是后序遍历的结果。

缺点是堆栈Q的深度等于数的结点数，空间占用较大。

 

3.层序遍历：

二叉树遍历的根本在于，只有知道父节点，才能找到孩子，而一个父节点有两个孩子，所以要解决这个矛盾，才能做到把二维树结构变一维链结构。层序遍历，使用队列，根节点出队，他的左右孩子分别入队，队首元素出队，他的左右孩子入队，继续循环下去。

 

例：先序和后序无法唯一确定一个二叉树，因为 根左右 左右根 左右子树间没有明显的分界线。

但中序和先序，中序和后序可唯一确定一个二叉树。例：由先序遍历第一个元素找到根节点。在中序遍历中由根节点划分出左右子树。在先序遍历中找到左子树的元素，其中第一个为左子树的根，由此递归得到二叉树。

 

例：判断树的同构：

主要解决三个问题：

1.二叉树的构建：即输入时的格式。

2.二叉树存储：用结构数组的存储结构（静态链表）来表示二叉树。

注：C语言中NULL=0，而数组下标为0的地方有结点时，要#define Null=-1，用Null来表示空结点。  

3.在静态链表中找根节点：没有元素指向的那一个元素。