动态规划——最长公共子序列（LCS）

　　最长公共子序列的问题描述为：

 

　　下面介绍动态规划的做法。

　　令 dp[i][j] 表示字符串 A 的 i 号位与字符串 B 的 j 号位之前的 LCS 长度（下标从 1 开始），如 dp[4][5] 表示 "sads" 与 “admin" 的 LCS 长度。那么可以根据 A[i] 和 B[j] 的情况，分为两种决策:

1. 1.  若 A[i]==B[j]，则字符串 A 与字符串 B 的 LCS 增加了 1 位，即有 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。
   2.  若 A[i] != B[j]，则字符串 A 的 i 号位和字符串B 的 j 号位之前的 LCS 无法延长，因此 dp[i][j] 将会继承 dp[i-1][j] 与 dp[i][j-1] 中的较大值,即有 dp[i][j]=max{dp[i-1][j], dp[i][j-1]}。　　　　

　　由此可以得到状态转移方程：

　　　　　　　　$dp[i][j]=\left\{\begin{matrix}dp[i-1][j-1]+1,A[i]==B[j]\\ max\left \{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] \right\},A[i]!=B[j]\end{matrix}\right.$

　　边界：dp[i][0] = dp[0][j] = 0 (0≤i≤n, 0≤j≤m)

　　这样状态 dp[i][j] 只与其之前的状态有关，由边界出发即可得到整个 dp 数组，最终 dp[n][m] 就是需要的答案，时间复杂度为 O(nm)。

　　代码如下：

/*
    最长公共子序列（LCS） 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 100
char A[maxn], B[maxn];
int dp[maxn][maxn]; 

// 求较大值
int max(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; 
} 

int main() {
    scanf("%s %s", A+1, B+1);        // 从下标为 1 开始输入 
    int lenA = strlen(A+1);            // 读取长度也从 1 开始 
    int lenB = strlen(B+1);
    int i, j;
    for(i=0; i<=lenA; ++i) {        // 边界 
        dp[i][0] = 0;
    } 
    for(j=0; j<=lenB; ++j) {
        dp[0][j] = 0;
    }
    for(i=1; i<=lenA; ++i) {        // 状态转移方程 
        for(j=1; j<=lenB; ++j) {
            if(A[i] == B[j]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[lenA][lenB]);    // dp[lenA][lenB] 是答案 

    return 0;
}