RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：
RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。
预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。
查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <(n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值
我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))
由此我们要注意的是预处理f(i,j)中的j值只需要计算log(n+1)/log(2)即可，而i值我们也只需要计算到n-2^k+1即可。
http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3264
经典的RMQ题
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
#define maxs( a , b ) a>b?a:b
#define mins( a , b ) a>b?b:a
const int MAX_N = 50005;
int d[MAX_N];
int dpmin[MAX_N][20];
int dpmax[MAX_N][20];
int n;
void create_Dpmin(){
int i , j;
for( i = 1 ; i <= n ; i++ )
dpmin[i][0] = d[i];
for( j = 1 ; j <= log((double)(n+1))/log(2.0) ; j++ ){
for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){
dpmin[i][j] = mins( dpmin[i][j-1] , dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );
}
}
}
void create_Dpmax(){
int i , j;
for( i = 1 ; i <= n ; i++ )
dpmax[i][0] = d[i];
for( j = 1 ; j <= log((double)(n+1))/log(2.0) ; j++ ){
for( i = 1 ; i+(1<<j)-1 <= n ; i++ ){
dpmax[i][j] = maxs( dpmax[i][j-1] , dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1] );
}
}
}
int getmax( int a , int b ){
int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
return maxs( dpmax[a][k] , dpmax[b-(1<<k)+1][k] );
}
int getmin( int a , int b ){
int k = (int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
return mins( dpmin[a][k] , dpmin[b-(1<<k)+1][k] );
}
void Init()
{
create_Dpmin();
create_Dpmax();
}
int main()
{
freopen( "in.txt" , "r" , stdin );
int i , m , a , b;
scanf("%d%d",&n,&m);
for( i = 1 ; i <= n ; i++ ){
scanf("%d",&d[i]);
}
Init();
while( m-- ){
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",getmax(a,b)-getmin(a,b));
}
return 0;
}
