债务偿还 - 寿险精算(4)

（2017-09-30 银河统计）

第一章 利息理论

教学重点：掌握利息的基础理论，年金现值、年金终值的定义及计算方法，永续年金、变额年金的现值和终值的计算；熟悉年金的定义及分类方法。

人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、死的风险，往往需要通过保险得到经济安全保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，人寿保险通常为长期合同。因此，在寿险精算中，必须要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精算的基础。

第三节 债务偿还

本节概要：分期偿还和偿债基金原理、计算公式和图表，以及在线计算表

借债人对债务的偿还通常采取分期偿还和偿债基金两种基本方法。在分期偿还方式下，借款人在还款期内分期还清全部本金和利息；在偿债基金方式下，借款人在贷款期间分期偿还借款利息，同时积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。

一、分期偿还

分期偿还指借款人按一定周期分期偿清当期应支付的利息及本金。这里需要计算每次偿还的总金额、每次偿还总金额中包含的利息及本金、当期尚未偿还的贷款余额等。

1、等额分期偿还

等额分期偿还债务的方法是在规定还款期内每次偿还相等金额的还款方式。设贷款本金为\(B_0\)，还款期为\(n\)年，每年还款一次，年实际利率为\(i\)， \(B_k(1=1,2,\dots,n)\)第\(k\)期未偿还的本金余额。

I、期末等额分期偿还

已知平均每年偿还金额R为：\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}\)

第一期末：\(B_1=B_0-(R-i\times B_0)=B_0(1+i)-R\)
第二期末：\(B_2=B_1-(R-i\times B_1)=B_0(1+i)^2-R\times s_{2|i}\)
第三期末：\(B_3=B_2-(R-i\times B_2)=B_0(1+i)^3-R\times s_{3|i}\)

依此类推：\(B_k=B_0(1+i)^k-R\times s_{k|i}\tag{1-67}\)

由\(B_0=R\times a_{n|i}\)可知：

\[B_k=R[a_{n|i}(1+i)^k-s_{k|i}]=R[\frac{1-v^n}{i}(1+i)^k-\frac{(1+i)^k-1}{i}]=R\times\frac{1-v^{n-k}}{i} \]

即：\(B_k=R\times a_{n-k|i}\tag{1-68}\)

计算未偿还的本金余额 采用式（1-67）称为过去法、式（1-68）称为将来法。在每期未偿还的本金余额\(B_k\)的基础上，令\(I_k\)为第k期应支付的利息，\(P_k\)为第k期偿还的本金， \(sI_n\)表示支付利息总额，则：

\[I_k=i\times B_{k-1}=i\times R\times a_{n-k+|i}=R(1-v^{n-k+1})\tag{1-69} \]

\[P_k=R-I_k=R\times v^{n-k+1}\tag{1-70} \]

\[sI_n=\sum\limits_{k=1}^n I_k=R[(1-v^n)+(1-v^{n-1})+\dots+(1-v)]=nR-Ra_{n|i}\tag{1-71} \]

付款总金额为\(nR\)，偿还本金总额为\(B_0\)。

II、期初等额分期偿还

已知平均每年偿还金额\(R\)为：

\[R=\frac{B_0}{\ddot{a}_{n|i}} \]

\[B_k=B_0(1+i)^k-R\times\ddot{s}_{k|i}=R\times\ddot{a}_{n-k|i} \]

【例1.23】某企业向银行借款20000元，期限为5年，年利率为6%。该企业在每年你年末以等额分期方式偿还贷款，计算等额分期偿还表。

解：\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}=\frac{20000}{a_{5|0.06}}=4747.93\)（元/年）

由\(B_k=R\times a_{5-k|0.06},\;I_k=i\times B_{k-1}=0.06 B_{k-1}\times,\;P_k=R-I_k\)依次得，

表 1-3：贷款等额分期偿还表

时期-$k$	偿还金额-$R$	偿还利息$I_k$	偿还本金$P_k$	未偿还余额$B_k$
0	0	0	0	20000
1	4747.93	1200.00	3547.93	16452.07
2	4747.93	987.12	3760.80	12691.27
3	4747.93	761.48	3986.45	8704.82
4	4747.93	522.29	4225.64	4479.18
5	4747.93	268.75	4479.18	0
合计	23739.65	3739.64	20000.00	*

【例1.24】某笔7000元的贷款，每年年末偿还1000元，年利率10%。计算第九次付款后的贷款余额。

解：\(B_k=B_0(1+i)^k-R\times\ddot{s}_{k|i}\rightarrow B_9=7000\times (1+0.1)^9-1000\times s_{9|0.1}=2926.16\)（元）

等额分期偿还计算表（债务偿还计算表I）
金额    利率    期限    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得各项分期偿还指标。

2、变额分期偿还

变额分期偿还债务的方法是在规定还款期内每次偿还不等金额的还款方式。设初始贷款金额为\(B_0\)，第\(k\)期偿还的金额为\(R_k,k=1,2,\dots,n\)，则有\(B0=\sum\limits_{k=1}^n v^k\times R_k\)。

I、每期偿还本金相等

最常见的变额分期偿还方式是每期偿还的本金相等。这样，逐期偿还本金，本金余额递减的同时偿还利息也逐期递减。

设每期偿还本金为\(P\)，年利率为\(i\)，还款期限为\(n\)，贷款总金额为\(nP\)。则，

每期未偿还的本金余额：\(B_k=(n-k)\times P\)
第\(k\)期应支付利息：\(I_k=i\times B_{k-1}=i\times (n-k+1)\times P\)
第\(k\)期偿还本利和：\(R_k=P+I_k=P\times [1+i\times (n-k+1)]\)
支付利息总和：\(sI_n=\sum\limits_{k=1}^nI_k=\sum\limits_{k=1}^ni\times (n-k+1)\times P=i\times P\times\frac{n(n+1)}{2}\)
付款金额总和：\(sR_n=n\times P+i\times P\times\frac{n(n+1)}{2}\)

【例1.25】某笔20000元的贷款，每年年末偿还4000元本金，年利率6%。

a、计算第三次付款金额、支付利息和贷款余额；
b、计算利息总额和付款总额；
c、制作贷款偿还表。

解：已知还款期限，\(n=5\)

a、第三次付款金额：\(R_3=4000\times [1+0.06\times (5-3+1)]=4720\)（元）
    第三次支付利息：\(I_3=0.06\times (5-3+1)\times 4000=720\)（元）
    第三次贷款余额：\(B_3=(5-3)\times 4000=8000\)（元）

b、利息总额：\(sI5=0.06\times 4000\times\frac{5(5+1)}{2}=3600\)（元）
    付款总额：\(sR_5=5\times 4000+0.06\times 4000\frac{5(5+1)}{2}=23600\)（元）

c、贷款偿还表

表 1-4：贷款变额分期偿还表

时期-$k$	偿还金额-$R_k$	偿还利息$I_k$	偿还本金$P$	未偿还余额$B_k$
0	0	0	0	20000.00
1	5200.00	1200.00	4000.00	16000.00
2	4960.00	960.00	4000.00	12000.00
3	4720.00	720.00	4000.00	8000.00
4	4480.00	480.00	4000.00	4000.00
5	4240.00	240.00	4000.00	0
合计	23600.00	3600.00	20000.00	*

【例1.26】某人从银行获得一笔贷款，期限为10年，年利率5%。该人采用变额分期偿还法偿还贷款，每年年末偿还金额分别为20000元、19000元、…、11000元。求，

a、贷款本金；
b、第五年所偿还的本金和利息（还款等额递减）。

解、

a、贷款本金：\(B_0=10000\times a_{10|0.05}+1000\times (Da)_{10|0.05}=122782.65\)（元）
b、第4年未偿还贷款余额：\(B_0=10000\times a_{10-4|0.05}+1000\times (Da)_{10-4|0.05}=69243.08\)（元）
    第5年偿还利息：\(I_5=i\times B_4=0.05\times 69243.08=3462.154\)（元）
    第5年偿还本金：\(P_5=R_5-I_5=16000-3462.154=12537.846\)（元）

变额（本金相等）期末偿还计算表（债务偿还计算表II）
金额    利率    期限   运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得各项分期偿还指标。

II、每期递增（减）变额还款

最初贷款额\(B_0\)，每期偿还金额为 \(B_k(1=1,2,\dots,n)\)，第一笔偿还额为\(R\)，以后每年递增（减）比例为\(1+j\)。则有，

\(B_0=\sum\limits_{k=1}^n v^k\times R_k=(vR_1+v^2R_2+\dots+v^nR_n)=[vR+v^2(1+j)R+\dots+v^n(1+j)^{n-1}R]\)
    \(=vR[1+v(1+j)+\dots+v^{n-1}(1+j)^{n-1}]=vR\frac{1-v^n(1+j)^n}{1-v(1+j)}\)    \((i\not=j)\)

当\((i=j)\)时，为分期等额还款，此时已知\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}\)，

解得，\(R=\Large{\frac{B_0[1-v(1+j)]}{v[1-v^n(1+j)^n]}=\frac{B_0(1-\frac{1+j}{1+i})}{\frac{1}{1+i}[1-(\frac{1+j}{1+i})^n]}}\)    \((i\not=j)\)

第\(k\)期付款：\(R_k=R(1+j)^{k-1}\)
第\(k\)期利息：\(I_k=i\times B_{k-1}\)
第\(k\)期本金：\(P_k=R_k-I_k\)
第\(k\)期贷款余额：\(B_k=B_{k-1}-P_k\)

【例1.27】某人从银行获得10000贷款，期限为8年，年利率10%。每年年末偿还一次，每次偿还金额以30%递增制作分期偿还表。

解、已知，\(n=8, i=0.1, j=0.3, B_0=10000, R=\frac{10000\times (1-\frac{1.3}{1.1})}{\frac{1}{1.1}\times [1-(\frac{1.3}{1.1})^8]}=712.9\)

表 1-5：贷款变额递增分期偿还表

时期-$k$	偿还金额-$R_k$	偿还利息$I_k$	偿还本金$P_k$	未偿还余额$B_k$
0	0	0	0	10000.00
1	712.90	1000.00	-287.10	10287.10
2	926.77	1028.71	-101.94	10389.04
3	1204.80	1038.90	165.9	10223.14
4	1566.24	1022.31	543.93	9679.21
5	2036.11	967.92	1068.19	8611.02
6	2646.95	861.10	1785.84	6826.18
7	3441.03	682.52	2758.51	4066.67
8	4473.34	406.67	4066.67	0
合计	17008.15	7008.15	10000.01	*

递增（减）变额期末还款计算表（债务偿还计算表III）
金额    利率    增减比率    期限   运 行

注：设置参数后（利率$\not=$增减比率，两者相等时为分期等额还款），点击“运 行”按钮，获得各项分期偿还指标。

二、偿债基金

偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，同时为了能够在贷款期末一次性归还本金，定期向一“基金”存款，使该基金在贷款期末的累积值正好等于本金。这一基金称为偿债基金。

一般情况下，采用等额偿债基金方式，借款人每期向偿债基金储蓄的金额相等，记为\(D\)。如果偿债基金各期利率为\(j\)、银行贷款利率为\(i\)，贷款期为\(n\)，期初贷款额为\(B_0\)，则有，

各期利息：\(I=i\times B_0\)
每期向偿债基金储蓄金额：\(D=\frac{B_0}{s_{n|j}}\)
每期支付总额为：\(R=I+D=i\times B_0+\frac{B_0}{s_{n|j}}=B_0(i+\frac{1}{s_{n|j}})\)
第\(k\)期末贷款余额为：\(B_k=B_0-D\times s_{k|j}=B_0-\frac{B_0}{s_{n|j}}s_{k|j}=B_0(1-\frac{s_{k|j}}{s_{n|j}})\)
第\(k\)期偿债基金的余额：\(F_k=D\times s_{k|j}=B_0\frac{s_{k|j}}{s_{n|j}}\)
第\(k\)期偿债基金所生成的利息：\(M_k=j\times D\times s_{k-1|j}=j\times B_0\times\frac{s_{k-1|j}}{s_{n|j}}\)
第\(k\)期实际支付的利息： \(I_k=i\times B_0-j\times D\times s_{k-1|j}=B_0\times (i-j\times\frac{s_{k-1|j}}{s_{n|j})})\)

式中，偿债基金每期产生的利息为上期期末累积值与基金利率的乘积。\(i=j\)时，等额偿债基金等价于等额分期还款。

【例1.28】某笔20000元的贷款，基金存款年利率5%，银行贷款年利率6%，贷款期限为5年。制作等额偿债基金表。

表 1-6：贷款等额偿债基金还款表

时期$k$	付款金额$R=I+D$	贷款利息$I=i\times B_k$	偿债基金$D$	基金利息$M_k$	实际利息$I_k$	基金余额$F_k$	贷款余额$B_k$
0	0	0	0	0	0	0	20000.00
1	4819.50	1200.00	3619.50	0.00	1200.00	3619.50	16380.50
2	4819.50	1200.00	3619.50	180.97	1019.03	7419.97	12580.03
3	4819.50	1200.00	3619.50	371.00	829.00	11410.46	8589.54
4	4819.50	1200.00	3619.50	570.52	629.48	15600.48	4399.52
5	4819.50	1200.00	3619.50	780.02	419.98	20000.00	0.00
合计	24097.48	6000.00	18097.48	1902.52	4097.48	*	*

偿债基金期末还款计算表（债务偿还计算表IV）
金额    利率    基金利率    期限   运 行

注：设置参数后（利率$\not=$基金利率，两者相等时为等额偿债基金，等价于等额分期还款），点击“运 行”按钮，获得各项分期偿还指标。

三、寿险精算代码窗口

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代码窗口

注：可将例题实例代码复制、粘贴到“代码窗口”，点击“运行代码”获得计算结果（鼠标选择实例代码\(\rightarrow\)Ctrl+C:复制\(\rightarrow\)鼠标点击“代码窗口”使其获得焦点\(\rightarrow\)Ctrl+V:粘贴）
运行代码

代码运行效果

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