矩阵运算 - 网络统计学类函数（3）
（2017-03-13 银河统计）在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常用于统计分析等应用数学学科中。在Javascript中，矩阵和数组都可以用Array处理，但由数学定义可知，矩阵的行、列元素数量是规范的，数组则不一定。例如，一个\(2\times 3\)矩阵用JS数组可表示为“[[1,2,3],[4,5,6]]”，矩阵每行、每列元素必须相等。而数组则可以表示为“[[1,2,3],[4,5]]”。所以说“在JS中，矩阵式规范化的数组”。
在网络统计学中，矩阵类函数（webTJ.Matrix）是网络统计学大类（webTJ）下的一个重要子类，主要用于和线性代数密切相关的多元统计分析、多元回归末等方法的计算。
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矩阵函数（子类名称：webTJ.Matrix）一览表
| 序号 | 函数名称 | 参数1 | 参数2 | 参数3 | 功能 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | getMEmpty(arrs) | 二维数组 | * | * | 生成空矩阵 | * |
| 2 | getMCopy(arrs) | 二维数组 | * | * | 复制矩阵 | * |
| 3 | getPlus(arrs1,arrs2) | 二维数组1 | 二维数组2 | * | 矩阵加 | 数组1和数组2行列相同 |
| 4 | getMinus(arrs1,arrs2) | 二维数组1 | 二维数组2 | * | 矩阵减 | 同上 |
| 5 | getMultiply(arrs1,arrs2) | 二维数组1 | 二维数组2 | * | 矩阵乘 | 前列后行相同 |
| 6 | getTranspose(arrs) | 二维数组 | * | * | 矩阵转置 | * |
| 7 | getInverse(arrs) | 二维数组 | * | * | 矩阵求逆 | 方阵 |
| 8 | getXTX(arrs) | 二维数组 | * | * | 转置矩阵乘原矩阵($X^TX$) | * |
| 9 | getXTY(xarrs,yarr) | 自变量数组 | 因变量数组 | * | 转置矩阵乘因变量矩阵($X^TY$) | * |
| 10 | getInsertRow(arrs,row) | 二维数组 | 插入行位置 | * | 矩阵添加行 | * |
| 11 | getInsertRRow(arrs,rarr,row) | 二维数组 | 给定行数组 | 插入行位置 | 矩阵添加给定行 | * |
| 12 | getInsertCol(arrs,col) | 二维数组 | 插入列位置 | * | 矩阵添加列 | * |
| 13 | getInsertRCol(arrs,carr,col) | 二维数组 | 给定列数组 | 插入列位置 | 矩阵添加给定列 | * |
| 14 | getRemoveRow(arrs,row) | 二维数组 | 删除行位置 | * | 矩阵删除行 | * |
| 15 | getRemoveCol(arrs,col) | 二维数组 | 删除列位置 | * | 矩阵删除列 | * |
| 16 | getEig(arrs) | 二维数组 | * | * | 矩阵特征值和特征向量 | 方阵 |
| 17 | getRandom(rows,cols) | 矩阵行数 | 矩阵列数 | * | 二生成随机数矩阵 | * |
| 18 | getDet(arrs) | 二维数组 | * | * | 计算矩阵行列式 | 方阵 |
| 19 | getDiag(arr) | 一维数组 | * | * | 生成对角矩阵 | * |
| 20 | getIdentity(rank) | 矩阵阶数 | * | * | 生成单位阵 | * |
| 21 | getSVD(arrs) | 二维数组 | * | * | 矩阵SVD分解 | * |
| 22 | getSparse(arrs) | 二维数组 | * | * | 稀疏矩阵压缩 | * |
| 23 | getINVSparse(arrs) | 二维数组 | * | * | 稀疏矩阵解压 | * |
| 24 | getCov(arrs,k) | 二维数组 | 估计类型 | * | 样本协方差矩阵 | k=0有偏、k=1无偏 |
注：本网页中所有数据管理类函数和代码样例都可以复制、粘贴到网页尾部“代码窗口”运行通过
一、矩阵运算函数手册###
1、生成空矩阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getMEmpty(arrs);
##参数
【arrs】
【二维数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=webTJ.Matrix.getMEmpty(4,5); //建立4行5列空数组
oArrs[3][3]=100; //矩阵第4行第4列复制为100
oArrs[0][0]=200; //矩阵第1行第1列复制为200
oArrs[2][1]=300; //矩阵第3行第2列复制为300
webTJ.display(oArrs,1);
2、复制矩阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getMCopy(arrs);
##参数
【arrs】
【二维数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[
[3,2,5,1],
[2,5,4,3],
[3,1,2,4],
[2,1,1,5],
[4,1,3,1]];
var oArrs1=webTJ.Matrix.getMCopy(oArrs); //复制数组oArrs并赋值给变量oArrs1
webTJ.display(oArrs1,1);
3、矩阵加 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getPlus(arrs1,arrs1);
##参数
【arrs1,arrs1】
【二维数组1,二维数组1】
代码样例
webTJ.clear();
var oTxt1="3:2:6:5:2:7,5:3:6:5:9:6,5:2:1:5:2:6,1:2:6:5:2:0";
var oTxt2="2:1:2:3:2:2,5:3:5:5:2:6,5:2:1:3:2:2,3:2:2:5:1:1";
var oArr1=webTJ.getArrs(oTxt1,",",":");
var oArr2=webTJ.getArrs(oTxt2,",",":");
webTJ.display(oArr1,1);
webTJ.display(oArr2,1);
var oArr=webTJ.Matrix.getPlus(oArr1,oArr2); //数组oArr1加oArr2并赋值给变量oArr
webTJ.display(oArr,1);
4、矩阵减 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getMinus(arrs1,arrs1);
##参数
【arrs1,arrs1】
【二维数组1,二维数组1】
代码样例
webTJ.clear();
var oTxt1="3:2:6:5:2:7,5:3:6:5:9:6,5:2:1:5:2:6,1:2:6:5:2:0";
var oTxt2="2:1:2:3:2:2,5:3:5:5:2:6,5:2:1:3:2:2,3:2:2:5:1:1";
var oArr1=webTJ.getArrs(oTxt1,",",":");
var oArr2=webTJ.getArrs(oTxt2,",",":");
webTJ.display(oArr1,1);
webTJ.display(oArr2,1);
var oArr=webTJ.Matrix.getMinus(oArr1,oArr2); //数组oArr1减oArr2并赋值给变量oArr
webTJ.display(oArr,1);
5、矩阵乘 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getMultiply(arrs1,arrs1);
##参数
【arrs1,arrs1】
【二维数组1,二维数组1】
代码样例
webTJ.clear();
var oTxt1="3:2:6:5:2:7,5:3:6:5:9:6,5:2:1:5:2:6,1:2:6:5:2:0";
var oTxt2="2:1:2:3,5:5:2:6,5:2:2:2,3:2:2:5,3:4:2:1,5:2:6:4";
var oArr1=webTJ.getArrs(oTxt1,",",":");
var oArr2=webTJ.getArrs(oTxt2,",",":");
webTJ.display(oArr1,1);
webTJ.display(oArr2,1);
var oArr=webTJ.Matrix.getMultiply(oArr1,oArr2); //数组oArr1乘oArr2并赋值给变量oArr
webTJ.display(oArr,1);
6、矩阵转置 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getTranspose(arrs);
##参数
【arrs】
【数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArr=[
[3,2,6,5,2,7],
[5,3,6,5,9,6],
[5,2,1,5,2,6],
[1,2,6,5,2,0]];
webTJ.display(oArr,1);
var oArr1=webTJ.Matrix.getTranspose(oArr); //转置数组变量oArr并赋值给oArr1
webTJ.display(oArr1,1);
7、矩阵求逆 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getInverse(arrs);
##参数
【arrs】
【数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[2,2,3],[2,1,2],[1,3,4]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oArrs1=webTJ.Matrix.getInverse(oArrs); //逆变换数组变量oArr并赋值给oArr1
webTJ.display(oArrs1,1);
8、转置矩阵乘原矩阵（\(X^TX\)） [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getXTX(arrs);
##参数
【arrs】
【数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oArrs1=webTJ.Matrix.getXTX(oArrs); //oArr转置乘原数组变量oArr并赋值给oXTX
webTJ.display(oArrs1,1);
9、转置矩阵乘因变量矩阵（\(X^TY\)） [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getXTY(xarrs,yarr);
##参数
【xarrs,yarr】
【自变量数组,因变量数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oY=[2,5,4,6,7];
webTJ.display(oY,1);
var oArrs1=webTJ.Matrix.getXTY(oArrs,oY); //oArr转置乘一维数组变量oY并赋值给oXTY
webTJ.display(oArrs1,1);
10、矩阵添加行 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getInsertRow(arrs,row);
##参数
【arrs,row】
【数组,插入行位置】
注：插入行为数字1
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oTs=webTJ.Matrix.getInsertRow(oArrs,1); //在第一行处插入一行
webTJ.display(oTs,1);
11、矩阵添加给定行 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getInsertRRow(arrs,rarr,row);
##参数
【arrs,rarr,row】
【数组,给定行数组,插入行位置】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oRowv=[3,4,1,7];
var oTs=webTJ.Matrix.getInsertRRow(oArrs,oRowv,1);
webTJ.display(oTs,1);
12、矩阵添加列 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getInsertCol(arrs,col);
##参数
【arrs,col】
【数组,插入列位置】
注：插入列为数字1
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oTs=webTJ.Matrix.getInsertCol(oArrs,1);
webTJ.display(oTs,1);
13、矩阵添加给定列 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getInsertRCol(arrs,carr,col);
##参数
【arrs,carr,col】
【数组,给定列数组,插入列位置】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oColv=[1,3,2,4,5];
var oTs=webTJ.Matrix.getInsertRCol(oArrs,oColv,1);
webTJ.display(oTs,1);
14、矩阵删除行 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getRemoveRow(arrs,row);
##参数
【arrs,row】
【数组,删除行位置】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oTs=webTJ.Matrix.getRemoveRow(oArrs,1);
webTJ.display(oTs,1);
15、矩阵删除列 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getRemoveCol(arrs,col);
##参数
【arrs,col】
【数组,删除列位置】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[3,2,5,1],[2,5,4,3],[3,1,2,4],[2,1,1,5],[4,1,3,1]];
webTJ.display(oArrs,1);
var oTs=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oArrs,1);
webTJ.display(oTs,1);
16、矩阵特征值和特征向量 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getEig(arrs);
##参数
【arrs】
【数组】
注：该函数返回复合数组，第一个数组为特征值数组，第二个数组为特征向量数组
代码样例
webTJ.clear();
var A = [[1,2,5],[3,5,-1],[7,-3,5]];
var oArrs=webTJ.Matrix.getEig(A); //计算矩阵特征值和特征向量，返回数组
webTJ.display(oArrs[0],1); //矩阵形式显示特征值数组oArrs[0]
webTJ.display(oArrs[1],1); //矩阵形式显示特征向量数组oArrs[1]
17、生成随机数矩阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getRandom(rows,cols);
##参数
【rows,cols】
【矩阵行数,矩阵列数】
注：矩阵元素为0-1均匀分布随机数
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=webTJ.Matrix.getRandom(4,5); //生成4行5列随机数矩阵
webTJ.display(oArrs,1);
18、计算矩阵行列式 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getDet(arrs);
##参数
【arrs】
【数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs = [
[6,8,4,2,8,5],
[3,5,2,4,9,2],
[7,6,8,3,4,5],
[5,5,2,8,1,6],
[3,2,2,4,2,2],
[8,3,2,2,4,1]];
var oV=webTJ.Matrix.getDet(oArrs);
webTJ.display(oV,0);
19、生成对角矩阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getDiag(arr);
##参数
【arr】
【一维数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArr = [2,5,2,3];
var oDiag = webTJ.Matrix.getDiag(oArr);//生成4x4对角矩阵
webTJ.display(oDiag,1);
20、生成单位阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getIdentity(rank);
##参数
【rank】
【矩阵阶数】
代码样例
webTJ.clear();
var oIdentity = webTJ.Matrix.getIdentity(5); //生成5阶角矩阵
webTJ.display(oIdentity,1);
21、矩阵SVD分解 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getSVD(arrs);
##参数
【arrs】
【二维数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs = [
[22,10,2,3,7],
[14,7,10,0,8],
[-1,13,-1,-11,3],
[-3,-2,13,-2,4],
[9,8,1,-2,4],
[9,1,-7,5,-1],
[2,-6,6,5,1],
[4,5,0,-2,2]];
var oBrrs=webTJ.Matrix.getSVD(oArrs);
webTJ.display(oBrrs[0],1); //显示U值
webTJ.display(oBrrs[1],1); //显示S值
webTJ.display(oBrrs[2],1); //显示V值
22、稀疏矩阵压缩 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getSparse(arrs);
##参数
【arrs】
【二维数组】
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs = [
[ 3, 5, 8,10, 8],
[ 7,10, 3, 5, 3],
[ 6, 3, 5, 1, 8],
[ 2, 6, 7, 1, 2],
[ 1, 2, 9, 3, 9]];
var oBrrs=webTJ.Matrix.getSparse(oArrs); //稀疏矩阵压缩并赋值
webTJ.display(oBrrs,1);
23、稀疏矩阵解压 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getINVSparse(arrs);
##参数
【arrs】
【二维数组】
代码样例
var oArrs = [
[ 3, 5, 8,10, 8],
[ 7,10, 3, 5, 3],
[ 6, 3, 5, 1, 8],
[ 2, 6, 7, 1, 2],
[ 1, 2, 9, 3, 9]];
var oArrs1=webTJ.Matrix.getSparse(oArrs); //稀疏矩阵压缩
webTJ.display(oArrs1,1);
var oArrs2=webTJ.Matrix.getINVSparse(oArrs1); //稀疏矩阵解压
webTJ.display(oArrs2,1);
24、样本协方差矩阵 [返回]
## 函数
webTJ.Matrix.getCov(arrs,k)
##参数
【arrs,k】
【二维数组,估计类型】
注：k=0时取n、有偏估计；k=1时取n-1、无偏估计
代码样例
webTJ.clear();
var oArrs=[[1,2,4],[3,4,2],[4,6,5],[2,3,7]]; \\定义矩阵
webTJ.display(oArrs,1);
var oCov=webTJ.Matrix.getCov(oArrs,1);\\计算样本协方差矩阵（无偏估计）
webTJ.display(oCov,1);
二、矩阵类函数在数学和统计学中的运用##
目的：线性方程组和多元回归模型矩阵代码表示和矩阵类函数编程
1、根据克莱姆法则解线性方程组###
设有线性方程组一般形式如下：
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
A_{11}X_1+A_{12}X_2+\dots+A_{1n}X_n=B_1\\
A_{21}X_1+A_{22}X_2+\dots+A_{2n}X_n=B_2\\
\dots\\
A_{n1}X_1+A_{n2}X_2+\dots+A_{nn}X_n=B_n\\
\end{cases}
\end{equation*}
\]
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,
\[\left| \begin{array}{ccc}
A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n}\\
A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n}\\
\dots & \dots &\dots & \dots\\
A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn}
\end{array} \right|\]
若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为，
\[X_j=\frac{D_j}{D}\hspace{1cm}(j=1,2,\dots,n)
\]
其中\(D_j\)是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。
现有线性方程组如下：
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
2X_1+X_2-5X_3+X_4=8\\
X_1-3X_2-6X_4=9\\
2X_2-X_3+2X_4=-5\\
X_1+4X_2-7X_3+6X_4=0
\end{cases}
\end{equation*}
\]
该方程组系数行列式为，
\[D=\left| \begin{array}{ccc}
2 & 1 & -5 & 1\\
1 & -3 & 0 & -6\\
0 & 2 & -1 & 2\\
1 & 4 & -7 & 6
\end{array} \right|=27\]
因\(D\neq0\)，故可用克莱姆法则求解，其中，
\[D_1=\left| \begin{array}{ccc}
8 & 1 & -5 & 1\\
9 & -3 & 0 & -6\\
-5 & 2 & -1 & 2\\
0 & 4 & -7 & 6
\end{array} \right|=81\]
\[D_2=\left| \begin{array}{ccc}
2 & 8 & -5 & 1\\
1 & 9 & 0 & -6\\
0 & -5 & -1 & 2\\
1 & 0 & -7 & 6
\end{array} \right|=-108\]
\[D_3=\left| \begin{array}{ccc}
2 & 1 & 9 & 1\\
1 & -3 & 9 & -6\\
0 & 2 & -5 & 2\\
1 & 4 & 0 & 6
\end{array} \right|=-27\]
\[D_4=\left| \begin{array}{ccc}
2 & 1 & -5 & 8\\
1 & -3 & 0 & 9\\
0 & 2 & -1 & -5\\
1 & 4 & -7 & 0
\end{array} \right|=27\]
解得，\(X_1=\frac{81}{27}=3,X_2=\frac{-108}{27}=-4,X_3=\frac{-27}{27}=-1,X_4=\frac{27}{27}=1\)。
样例代码
1. webTJ.clear();
2. var oDs=[[2,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]];
3. var oY=[8,9,-5,0];
4. webTJ.display(oDs,1);
5. var oDet=webTJ.Matrix.getDet(oDs);
6. oDet=webTJ.getDecimal(oDet,8);
7. webTJ.display("D="+oDet,0);
8. var oDD=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oDs,0);
9. var oD1=webTJ.Matrix.getInsertRCol(oDD,oY,0);
10. webTJ.display(oD1,1);
11. var oDet1=webTJ.Matrix.getDet(oD1);
12. oDet1=webTJ.getDecimal(oDet1,8);
13. webTJ.display("D1="+oDet1,0);
14. oDD=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oDs,1);
15. var oD2=webTJ.Matrix.getInsertRCol(oDD,oY,1);
16. webTJ.display(oD2,1);
17. var oDet2=webTJ.Matrix.getDet(oD2);
18. oDet2=webTJ.getDecimal(oDet2,8);
19. webTJ.display("D2="+oDet2,0);
20. oDD=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oDs,2);
21. var oD3=webTJ.Matrix.getInsertRCol(oDD,oY,2);
22. webTJ.display(oD3,1);
23. var oDet3=webTJ.Matrix.getDet(oD3);
24. oDet3=webTJ.getDecimal(oDet3,8);
25. webTJ.display("D3="+oDet3,0);
26. oDD=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oDs,3);
27. var oD4=webTJ.Matrix.getInsertRCol(oDD,oY,3);
28. webTJ.display(oD4,1);
29. var oDet4=webTJ.Matrix.getDet(oD4);
30. oDet4=webTJ.getDecimal(oDet4,8);
31. webTJ.display("D4="+oDet4,0);
32. var oX=[oDet1/oDet,oDet2/oDet,oDet3/oDet,oDet4/oDet];
33. webTJ.display("方程的解为：",0);
34. webTJ.display(oX,1);
代码功能
2. 设置系数矩阵oDs
3. 设置常数项数组oY
5. 计算系数矩阵行列式
6. 保留8位小数（防止出现过长小数）
8. 删除系数矩阵第1列
9. 将常数项数组oY作为第1列插入系数矩阵
11. 计算替换系数矩阵D1行列式
32. 计算得各自变量的解
注：8-13、14-19、20-25、26-31功能类似，都是在系数矩阵D中分别替换各列为常数项数组oY，从而计算出替换系数矩阵\(D_1,D_2,D_3,D_4\)行列式的值
为了练习使用矩阵类函数和展示计算过程，使得上面的代码显得较多。如果只是为了解线性方程，可以简化代码如下：
样例代码
1. webTJ.clear();
2. var oD=[[2,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]];
3. var oD1=[[8,1,-5,1],[9,-3,0,-6],[-5,2,-1,2],[0,4,-7,6]];
4. var oD2=[[2,8,-5,1],[1,9,0,-6],[0,-5,-1,2],[1,0,-7,6]];
5. var oD3=[[2,1,8,1],[1,-3,9,-6],[0,2,-5,2],[1,4,0,6]];
6. var oD4=[[2,1,-5,8],[1,-3,0,9],[0,2,-1,-5],[1,4,-7,0]];
7. oD=webTJ.Matrix.getDet(oD);
8. oD1=webTJ.Matrix.getDet(oD1);
9. oD2=webTJ.Matrix.getDet(oD2);
10. oD3=webTJ.Matrix.getDet(oD3);
11. oD4=webTJ.Matrix.getDet(oD4);
12. var oX=[oD1/oD,oD2/oD,oD3/oD,oD4/oD];
13. webTJ.display(oX,0);
注：显示的计算结果中的长小数是由于JS内部进制转换产生的。代码中2-6定义系数行列式和替换系数行列式，7-11计算所有行列式
2、试将下面线性方程组写成矩阵形式，并求解###
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
2X_1+2X_2+3X_3=2\\
X_1-X_2=2\\
-X_1+2X_2+X_4=4
\end{cases}
\end{equation*}
\]
矩阵形式为，\(AX=b\)，其中，
\[A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 &-1 & 0 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right),
\hspace{1cm}
X=\left(\begin{array}{ccc}
x_{_1}\\
x_{_2}\\
x_{_3}
\end{array}\right),
\hspace{1cm}
b=\left(\begin{array}{ccc}
2\\
2\\
4
\end{array}\right)\]
计算\(|A|=-1\neq0\)，故A可逆. 因而有\(X=A^{-1}b\)，即，
\[\left(\begin{array}{ccc}
x_{_1}\\
x_{_2}\\
x_{_3}
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 3 \\
1 &-1 & 0 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{ccc}
2\\
2\\
4
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
1 &-4 &-3 \\
1 &-5 &-3 \\
-1 & 6 & 4
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
2\\
2\\
4
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
-18\\
-20\\
26
\end{array}\right)
\]
根据矩阵相等的定义，方程组的解为：\(x_{_1}=-18,x_{_2}=-20,x_{_3}=26\)。
样例代码
1. webTJ.clear();
2. var oD=[[2,2,3],[1,-1,0],[-1,2,1]];
3. var oY=[2,2,4];
4. var oDet=webTJ.Matrix.getDet(oD);
5. oDet=webTJ.getDecimal(oDet,8);
6. webTJ.display("行列式="+oDet,0);
7. var invD=webTJ.Matrix.getInverse(oD);
8. invD=webTJ.getArrDecimal(invD,8);
9. webTJ.display(invD,1);
10. var oArr=webTJ.Matrix.getMultiply(invD,oY);
11. webTJ.display(oArr,1);
代码功能
2. 定义系数矩阵
3. 定义常数项矩阵
4. 计算系数矩阵的行列式值
5. 保留标量有效小数8位（去除长小数）
7. 计算系数矩阵的逆矩阵
8. 保留向量（矩阵或数组）有效小数8位
10. 系数矩阵逆矩阵乘常数项矩阵（主要数项矩阵写法）
3、多元线性回归模型求解###
多元线性回归模型：\(Y=A_0+A_1X_1+A_2X_2+\dots+A_mX_m\)
矩阵形式：\(XA=Y\)。其中，
\[X=\left(\begin{array}{ccc}
1 & X_{11} & X_{21} & \dots & X_{m1}\\
1 & X_{12} & X_{21} & \dots & X_{m1}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
1 & X_{1n} & X_{2n} & \dots & X_{mm}\\
\end{array}\right),
\hspace{1cm}
Y=\left(\begin{array}{ccc}
Y_1\\
Y_2\\
\dots\\
Y_n
\end{array}\right),
\hspace{1cm}
A=\left(\begin{array}{ccc}
A_1\\
A_2\\
\dots\\
A_m
\end{array}\right)\]
多元线性回归模型解得矩阵形式为，\((X^TX)^{-1}\times(X^TY)\)。其中，
\[\small{(X^TX)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
n & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i} & \sum\limits_{i=1}^n X_{2i} & \dots & \sum\limits_{i=1}^n X_{mi}\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{1i} & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i}^2 & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i}X_{2i} & \dots & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i}X_{mi}\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{2i} & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i}X_{2i} & \sum\limits_{i=1}^n X_{2i}^2 & \dots & \sum\limits_{i=1}^n X_{2i}X_{mi}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{mi} & \sum\limits_{i=1}^n X_{1i}X_{mi} & \sum\limits_{i=1}^n X_{2i}X_{mi} & \dots & \sum\limits_{i=1}^n X_{mi}^2
\end{array}\right)
\hspace{1cm}
(X^TY)=\left(\begin{array}{ccc}
\sum\limits_{i=1}^n Y_i\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{1i}Y_i\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{2i}Y_i\\
\dots\\
\sum\limits_{i=1}^n X_{mi}Y_i
\end{array}\right)}
\]
现有某地区居民不同类型收入和总消费统计资料（单位：元）如下，
| 序号 | 持久收入 | 临时收入 | 总消费 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1800 | 781 | 2248 |
| 2 | 2100 | 1342 | 2531 |
| 3 | 2400 | 487 | 2220 |
| 4 | 2700 | 375 | 2469 |
| 5 | 3000 | 662 | 2972 |
| 6 | 3300 | 1145 | 3447 |
| 7 | 3600 | 1303 | 3686 |
| 8 | 3900 | 1322 | 4058 |
| 9 | 4200 | 808 | 3726 |
| 10 | 4500 | 643 | 3955 |
根据表中样本数据，运用多元线性回归模型进行参数估计。
样例代码
1. webTJ.clear();
2. var oX=[[1,1800,781],[1,2100,1342],[1,2400,487],[1,2700,375],[1,3000,662],
[1,3300,1145],[1,3600,1303],[1,3900,1322],[1,4200,808],[1,4500,643]];
3. var oY=[2248,2531,2220,2469,2972,3447,3686,4058,3726,3955];
4. webTJ.display(oX,1);
5. var oXT=webTJ.Matrix.getTranspose(oX);
6. webTJ.display(oXT,1);
7. var oXTX=webTJ.Matrix.getMultiply(oXT,oX);
8. webTJ.display(oXTX,1);
9. var oXTY=webTJ.Matrix.getMultiply(oXT,oY);
10. webTJ.display(oXTY,1);
11. var invXTX=webTJ.Matrix.getInverse(oXTX);
12. webTJ.display(invXTX,1);
13. var oA=webTJ.Matrix.getMultiply(invXTX,oXTY);
14. webTJ.display(oA,1);
代码功能
- 定义自变量样本矩阵(X)
- 定义因变量样本数组(Y)
- 自变量矩阵转置(\(X^T\))
- 自变量转置矩阵乘自变量矩阵(\(X^TX\))
- 自变量转置矩阵乘因变量数组(\(X^TY\))
- 自变量转置矩阵乘自变量矩阵的逆矩阵(\((X^TX)^{-1}\))
- 逆矩阵乘自变量转置矩阵乘因变量数组(\((X^TX)^{-1}\times(X^TY)\))
4、主成分分析###
现有全国30个省、直辖市的8项经济指标如下表，试进行主成分分析。
| 省份 | 国内生产 | 居民消费 | 固定资产 | 职工工资 | 货物周转 | 消费价格 | 商品零售 | 工业产值 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 北京 | 1394.89 | 2505 | 519.01 | 8144 | 373.9 | 117.3 | 112.6 | 843.43 |
| 天津 | 920.11 | 2720 | 345.46 | 6501 | 342.8 | 115.2 | 110.6 | 582.51 |
| 河北 | 2849.52 | 1258 | 704.87 | 4839 | 2033.3 | 115.2 | 115.8 | 1234.85 |
| 山西 | 1092.48 | 1250 | 290.9 | 4721 | 717.3 | 116.9 | 115.6 | 697.25 |
| 内蒙 | 832.88 | 1387 | 250.23 | 4134 | 781.7 | 117.5 | 116.8 | 419.39 |
| 辽宁 | 2793.37 | 2397 | 387.99 | 4911 | 1371.7 | 116.1 | 114 | 1840.55 |
| 吉林 | 1129.2 | 1872 | 320.45 | 4430 | 497.4 | 115.2 | 114.2 | 762.47 |
| 黑龙江 | 2014.53 | 2334 | 435.73 | 4145 | 824.8 | 116.1 | 114.3 | 1240.37 |
| 上海 | 2462.57 | 5343 | 996.48 | 9279 | 207.4 | 118.7 | 113 | 1642.95 |
| 江苏 | 5155.25 | 1926 | 1434.95 | 5943 | 1025.5 | 115.8 | 114.3 | 2026.64 |
| 浙江 | 3524.79 | 2249 | 1006.39 | 6619 | 754.4 | 116.6 | 113.5 | 916.59 |
| 安徽 | 2003.58 | 1254 | 474 | 4609 | 908.3 | 114.8 | 112.7 | 824.14 |
| 福建 | 2160.52 | 2320 | 553.97 | 5857 | 609.3 | 115.2 | 114.4 | 433.67 |
| 江西 | 1205.11 | 1182 | 282.84 | 4211 | 411.7 | 116.9 | 115.9 | 571.84 |
| 山东 | 5002.34 | 1527 | 1229.55 | 5145 | 1196.6 | 117.6 | 114.2 | 2207.69 |
| 河南 | 3002.74 | 1034 | 670.35 | 4344 | 1574.4 | 116.5 | 114.9 | 1367.92 |
| 湖北 | 2391.42 | 1527 | 571.68 | 4685 | 849 | 120 | 116.6 | 1220.72 |
| 湖南 | 2195.7 | 1408 | 422.61 | 4797 | 1011.8 | 119 | 115.5 | 843.83 |
| 广东 | 5381.72 | 2699 | 1639.83 | 8250 | 656.5 | 114 | 111.6 | 1396.35 |
| 广西 | 1606.15 | 1314 | 382.59 | 5105 | 556 | 118.4 | 116.4 | 554.97 |
| 海南 | 364.17 | 1814 | 198.35 | 5340 | 232.1 | 113.5 | 111.3 | 64.33 |
| 四川 | 3534 | 1261 | 822.54 | 4645 | 902.3 | 118.5 | 117 | 1431.81 |
| 贵州 | 55.98 | 1110 | 17.87 | 7382 | 4.2 | 117.3 | 114.9 | 5.57 |
| 陕西 | 1000.03 | 1208 | 300.27 | 4396 | 500.9 | 119 | 117 | 600.98 |
| 甘肃 | 553.35 | 1007 | 114.81 | 5493 | 507 | 119.8 | 116.5 | 468.79 |
| 青海 | 165.31 | 1445 | 47.76 | 5753 | 61.6 | 118 | 116.3 | 105.8 |
| 宁夏 | 169.75 | 1355 | 61.98 | 5079 | 121.8 | 117.1 | 115.3 | 114.4 |
| 新疆 | 834.57 | 1469 | 376.96 | 5348 | 339 | 119.7 | 116.7 | 428.76 |
基本计算步骤：
I、样本协方差矩阵
两个样本总体间的样本协方差公式：
\[Cov(X_i,X_j)=\frac{\sum\limits_{k=1}^n (X_{ik}-{\overline X_i})(X_{jk}-{\overline X_j})}{n-1}
\]
m个样本总体间的样本协方差矩阵：
\[A=\left(\begin{array}{ccc}
Cov(X_1,X_1) & Cov(X_2,X_1) & \dots & Cov(X_m,X_1)\\
Cov(X_1,X_2) & Cov(X_2,X_2) & \dots & Cov(X_m,X_2)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
Cov(X_1,X_m) & Cov(X_2,X_m) & \dots & Cov(X_m,X_m)
\end{array}\right)\]
\[\small{=\frac{1}{n-1}\left(\begin{array}{ccc}
\sum\limits_{k=1}^n (X_{1k}-{\overline X_1})^2 & \sum\limits_{k=1}^n (X_{2k}-{\overline X_2})(X_{1k}-{\overline X_1}) & \dots & \sum\limits_{k=1}^n (X_{mk}-{\overline X_m})(X_{1k}-{\overline X_1})\\
\sum\limits_{k=1}^n (X_{1k}-{\overline X_1})(X_{2k}-{\overline X_2}) & \sum\limits_{k=1}^n (X_{i2}-{\overline X_2})^2 & \dots & \sum\limits_{k=1}^n (X_{mk}-{\overline X_m})(X_{2k}-{\overline X_2})\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\sum\limits_{k=1}^n (X_{1k}-{\overline X_1})(X_{mk}-{\overline X_m}) & \sum\limits_{k=1}^n (X_{i2}-{\overline X_2})(X_{mk}-{\overline X_m}) & \dots & \sum\limits_{k=1}^n (X_{mk}-{\overline X_m})^2
\end{array}\right)}
\]
II、协方差矩阵特征值
已知E单位矩阵，A为样本协方差矩阵（m阶方阵），求m阶矩阵A的特征值的基本方法即求齐次线性方程组\((\lambda E-A)X=0\)有非零解的值\(\lambda\)。即要求行列式\((\lambda E-A)=0\)。计算行列式获得的\(\lambda\)值即为矩阵A的特征值。
III、特征值取绝对值、排序（倒序）、累计、计算贡献率
注：这里着重计算，主成分分析具体方法参见后续文章。
样例代码
1. webTJ.clear();
2. var oStr = webTJ.getGSData("sysData");
3. var oArrs=webTJ.getArrs(oStr,"|",":");
4. oArrs=webTJ.Matrix.getRemoveCol(oArrs,0);
5. var oTrr=oArrs[0];
6. oArrs=webTJ.Matrix.getRemoveRow(oArrs,0);
7. oArrs=webTJ.Array.getQuantify(oArrs);
8. var oCov=webTJ.Matrix.getCov(oArrs,1);
9. var oErrs=webTJ.Matrix.getEig(oCov);
10. var oVrrs=[];
11. var oLen=oTrr.length;
12. for (var i=0; i<oLen; i++) {
13. oVrrs[i]=[]; oVrrs[i][0]=oTrr[i];
14. oVrrs[i][1]=Math.abs(webTJ.getDecimal(oErrs[0][i],4));
15. }
16. oVrrs=webTJ.Array.getNArrsSort(oVrrs,1,1);
17. var oS=0;
18. for (var i=0; i<oLen; i++) {
19. oS+=oVrrs[i][1];
20. oVrrs[i][2]=webTJ.getDecimal(oS,4); oVrrs[i][3]=0;
21. }
22. for (var i=0; i<oLen; i++) {
23. oVrrs[i][3]=webTJ.getDecimal(100*oVrrs[i][2]/oS,6)+"%";
24. }
25. var oT=["指标","特征值","累计贡献额","累计贡献率"];
26. oVrrs=webTJ.Matrix.getInsertRRow(oVrrs,oT,0);
27 webTJ.show(oVrrs,2);
代码功能
2. 获得系统数据（表中30省份经济数据，字符）
3. 根据字符格式转换为矩阵
4. 删除矩阵第一列（省份名称列）
5. 将矩阵第一行赋值给指标数组oTrr
6. 删除矩阵第一行（指标名称行）
7. 量化矩阵，赋值存在数量字符
8. 计算样本协方差矩阵
9. 根据样本协方差矩阵计算特征值和特征向量
10. 定义二维输出数组
11. 定义指标数量
12-15. 循环中依列向输出数组中写入指标名称和特征值绝对值
16. 根据特征值对输出数组进行倒序排序
17. 定义累加变量及初始值
18-21. 循环中向输出数组中写入特征值累计值
22-24. 循环中向输出数组中写入特征值累计百分比（贡献率）
25. 定义指标数组
26、将指标数组插入输出数组第一行
三、在线数据操作练习###
代码窗口
注：可将例题实例代码复制、粘贴到“代码窗口”，点击“运行代码”获得计算结果（鼠标选择实例代码\(\rightarrow\)Ctrl+C:复制\(\rightarrow\)鼠标点击“代码窗口”使其获得焦点\(\rightarrow\)Ctrl+V:粘贴）
运行效果
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