确定型年金 - 寿险精算(3)
（2016-12-21银河统计）
第一章 利息理论
教学重点：掌握利息的基础理论，年金现值、年金终值的定义及计算方法，永续年金、变额年金的现值和终值的计算；熟悉年金的定义及分类方法。
人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、死的风险，往往需要通过保险得到经济安全保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，人寿保险通常为长期合同。因此，在寿险精算中，必须要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精算的基础。
第二节、年金分析
本节概要：年金现值、终值的定义及计算方法，以及各种年金现值和终值在线计算表
年金是收付款的一种方式，它是指在一个相等的时间间隔进行的一系列固定数额收付款方式。如向银行一次性贷款后在今后的若干年内等额还款，以分期付款方式购买大宗商品等。
一、终值和现值
货币是有时间价值的，在不同时期，相同货币额的价值是不同的。为了体现货币的时间价值，这里引入终值和现值的概念。终值是现在时期货币值在未来时期的价值，现值是未来时期货币值在现在时期的价值。
由（1-11）和（1-15）可知，1单位货币在t年的终值为：\(a(t)=(1+i)^t\)；未来\(t\)年1单位货币的现值为：
令，
则，
我们称\(v\)为折现因子（或贴现因子），\(v^t\)称为折现函数（或贴现函数）。由（1-14），\(d=\frac{i}{1+i}\)可知贴现率与折现因子的关系是：
二、基本年金的现值和终值
1、定额年金的现值和终值
I、期初付\(n\)年定额年金的现值和终值
设每年年初定期付给1元，给付时间为n年，用\(\ddot{a}_{_n}\)表示该年金的现值，\(\ddot{s}_{_n}\)表示该年金的终值，则期初付\(n\)年定期年金的现值为：
期初付\(n\)年定期年金的终值为：
由式（1-27）可得期初付年金的现值和终值的关系为：
通常，\(\ddot{a}_{_n}\)、\(\ddot{s}_{_n}\)符号不必标出计算所依据的利率，但在有些时候为避免引起混乱，可写成\(\ddot{a}_{_{n|i}}\)、\(\ddot{s}_{_{n|i}}\)的形式。
【例1.10】某人从银行贷款20万元用于购买住房，贷款年利率为5%，还款期为30年。如果从第一年开始每年等额还款，求每年还款数额。
解：设每年还款数额为\(X\)，由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的，即，
其中，
实例代码（例1.10）：
webTJ.clear();//清空输出
var m = 200000;//银行贷款额
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//还款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
webTJ.display("期初年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年还款数额："+v+"元",0);
【例1.11】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，年利率为6%。如果第一次领取年金从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。
解：设每年领取数额为\(X\)，由于购买额和领取数额在零时刻的现值相等，即，
实例代码（例1.11）：
webTJ.clear();//清空输出
var m = 2000;//投资额
var i = 0.06;//年利息率
var t = 15;//投资期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
webTJ.display("期初年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年领取数额："+v+"元",0);
II、期末付\(n\)年定额年金的现值和终值
设每年年末定期付给1元，给付时间为\(n\)年，用\(a_n\)表示该年金的现值，\(s_n\)表示该年金的终值。则，期末付\(n\)年定期年金的现值为：
期末付\(n\)年定期年金的终值为：
期末付年金的现值和终值的关系为：
期初付年金现值与期末付年金现值的关系为：
期初付年金终值与期末付年金终值的关系为：
【例1.12】某人从银行贷款20万元用于购买住房，贷款年利率为5%，还款期为30年。如果从第二年开始每年等额还款，求每年还款数额。
解：设每年还款数额为\(X\)，由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的，即，
实例代码（例1.12）：
webTJ.clear();//清空输出
var m = 200000;//银行贷款额
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//还款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年还款数额："+v+"元",0);
【例1.13】计算年利率为6%条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及累积值（终值）。
解：
现值（开始时价值）=\(1000\times a_{_{10|0.05}}=1000\times 7.360087\approx7360.09(元)\)
终值（结束时价值）=\(1000\times s_{_{10|0.05}}=1000\times 13.180795\approx13180.80(元)\)
实例代码（例1.13）：
webTJ.clear();
var m = 1000;//每年年末投资额
var i = 0.06;//年利息率
var t = 10;//投资期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m*a,2);//现值（开始时价值）
webTJ.display("现值（开始时价值）："+v+"元",0);
var a1 = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
webTJ.display("期末年金终值："+a1+"元",0);
var v1 = webTJ.getDecimal(m*a1,2);//终值（结束时价值）
webTJ.display("终值（结束时价值）："+v1+"元",0);
【例1.14】通过零存整取方式在一年后获得10000元，月复利为0.5%。每月存款多少？
解：设每月存款为\(D\)，则，
实例代码（例1.14）：
webTJ.clear();
var m = 10000;//零存整取本利和
var i = 0.005;//月利息率
var t = 12;//投资期（月）
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
webTJ.display("期末年金现值："+s+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/s,2);//每月存款数额
webTJ.display("每月存款数额："+v+"元",0);
【例1.15】在银行存入20000元，计划4年支取完，每半年支取一次，年利率为7%。计算每次支取额度。
解：设每次支取额度\(R\)，则，
实例代码（例1.15）：
webTJ.clear();
var m = 20000;//零银行存款额
var i = 0.035;//半年利息率
var t = 8;//投资期（半年）
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每次支取额
webTJ.display("每次支取额："+v+"元",0);
【例1.16】已知年利率为8%，向银行贷款10000元，期限为5年，计算下面三种还款方式中利息额度。
a. 第五年一次还清；
b. 每年年末支付贷款利息，第五年年末归还本金；
c. 贷款每年均衡偿还（即采用年金方式）。
解：
a. 本利和 = \(10000\times(1+0.08)^5=14693.28(元)\)，其中利息额为4693.28元。
b. 每年年末支付利息800元，5年共支付4000元。
c. 设每年偿还R元，\(R=\frac{10000}{a_{_{5|0.08}}}=2504.56(元)\)，5年共还款\(2504.56\times5=12522.80(元)\)，其中利息额为2522.80元。
实例代码（例1.16）：
webTJ.clear();
var m = 10000;//银行贷款
var i = 0.08;//年利息率
var t = 5;//投资期（半年）
var v = webActuary.getFL(m,t,i);//5年本利和
webTJ.display("5年本利和："+v+"元，其中利息额为："+(v-m)+"元",0);
webTJ.display("每年年末支付利息800元，5年共支付4000元",0);
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
var v1 = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年偿还额
webTJ.display("每年偿还额："+v1+"元"+"5年共还款额："+v1*t+"元"+"其中利息额为："+webTJ.getDecimal((v1*t-m),2)+"元",0);
2、延期付定额年金的现值和终值
I、期初付延期m年的n年定额年金的现值和终值
设每年年初定期付给1元，于\(m\)年年初开始给付，共付\(n\)年，用\(_{_m}\ddot{a}_{_n}\)表示该年金的现值，\(_{_m}\ddot{s}_{_n}\)表示该年金的终值，则：
公式(1-38)中，令，
II、期末付延期m年的n年定额年金的现值和终值
设每年年末定期付给1元，于\(m\)年年末开始给付，共付\(n\)年，用\(_{_m}a_{_n}\)表示该年金的现值，\(_{_m}s_{_n}\)表示该年金的终值，则：
【例1.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第九个月开始用5年的时间每月还款，年利为6%，求每月还款额。
解：月利率为，\((1+j)^{12}=1.06\Leftrightarrow j=0.004868\)，再设每月还款额为\(X\)，银行收付款一般为期末支付，第九个月开始还款意味延期8个月。则有，
\(_{_8}{a}_{_{50}}\times X=42.5975\times X=50000\)，解得，\(X=1173.78(元)\)
实例代码（例1.17）：
webTJ.clear();
var s = 50000;//银行贷款
var i = 0.06;//年利息率
var t = 50;//投资期（月）
var m = 8;//延期（月）
var j = Math.pow(1.06,1/12)-1;//月利息率
webTJ.display("月利息率："+j,0);
var a = webActuary.getMIFA(t,j,m,1);//单位元期末延期年金现值
var v = webTJ.getDecimal(s/a,2);//每月还款额
webTJ.display("每月还款额："+v+"元",0);
III、任意时刻年金值经验公式
a. 将现值向前折现m年
b. 将现值向后积累m年
证明：
又，
c. 将终值向前折现m年
d. 将终值向前折现m年
3、递增型n年期年金的现值和终值
I、期初付递增型n年期年金的现值和终值
设第一年年初付给1元，以后每年年初增加1元，共付\(n\)年，用\((I\ddot{a})_{_n}\)表示该年金的现值，\((I\ddot{s})_{_n}\)表示该年金的终值，则：
II、期末付递增型n年期年金的现值和终值
设第一年年末付给1元，以后每年年末增加1元，共付\(n\)年，用\((Ia)_{_n}\)表示该年金的现值，\((Is)_{_n}\)表示该年金的终值，则：
【例1.18】某年金第一年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前一年增加100元，共收付10年、年利为5%，求第10年年末的终值。
解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金之和。即，
实例代码（例1.18）：
webTJ.clear();
var m1 = 900;
var m2 = 100;
var i = 0.05;
var t = 10;
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);
webTJ.display("单位元期末定额年金终值："+s,0);
var Is = webActuary.getIIFS(t,i,1);
webTJ.display("单位元期末等差递增年金终值："+Is,0);
var v = m1*s+m2*Is;
webTJ.display("终值："+v,0);
4、递减型n年期年金的现值和终值
I、期初付递减型n年期年金的现值和终值
设第一年年初付给\(n\)元，以后每年减少1元，共付\(n\)年，用\((D\ddot{a})_{_n}\)表示该年金的现值，\((D\ddot{s})_{_n}\)表示该年金的终值，则：
II、期末付递减型n年期年金的现值和终值
设第一年年末付给\(n\)元，以后每年递减1元，共付\(n\)年，用\((Da)_{_n}\)表示该年金的现值，\((Ds)_{_n}\)表示该年金的终值，则：
【例1.19】某人从银行贷款50万元购买住房，年利为5%，贷款期限20年。
a、采用期末递减还款方式，求第一年末还款额和每年递减额；
b、第一个月及每月递减额；
c、该人预计5年内每年还款10万元，然后采用递减还款方式，求第六年末还款额和以后每年递减额。
解：
a、每年递减额为\(X\)，\(X\times(Da)_{_{20|0.05}}=150.7558\times{X}=500000\)，解得，\(X=3316.62(元)\)；
第一年末还款额为\(3316.62\times20=66332.4(元)\)；
还款总额为\((20+19+\dots+1)\times3316.62=696490.2(元)\)。
b、月利率为\((1+j)^{12}=1.05\Leftrightarrow j=0.004074124\)，每月递减额为\(X\)，则有：
\(X\times(Da)_{_{240|0.004074124}}=500000\)，解得，\(X=23.4(元)\)；
第一月末还款额为\(23.4\times240=5616(元)\)；
还款总额为\((240+239+\dots+1)\times23.4=676728(元)\)。
c、设第六年开始每年递减额为\(X\)。该问题可分解为5年等额年金和15年延期递减年金之和。即，
\(100000\times a_{_{5|0.05}}+X\times V^5\times(Da)_{_{15|0.05}}=500000\)，解得，\(X=926.1(元)\)；
第六年末还款额为\(926.1\times15=13891.5(元)\)；
还款总额为\(5\times100000+(15+14+\dots+1)\times926.1=611132(元)\)。
实例代码（例1.19）：
webTJ.clear();
var m = 500000;
var i = 0.05;
var t = 20;
var Ds = webActuary.getDIFA(t,i,1);
webTJ.display("问题a、单位元期末等差递减年金终值："+Ds,0);
var X = m/Ds;
webTJ.display("问题a、每年递减额："+X,0);
var M = t*X;
webTJ.display("问题a、第一年末还款额："+M,0);
var S = (t*(t+1)/2)*X;
webTJ.display("问题a、还款总额："+S,0);
var j = Math.pow(1+i,1/12)-1;
webTJ.display("问题b、月利率："+j,0);
var t1 = 240;
Ds = webActuary.getDIFA(t1,j,1);
webTJ.display("问题b、单位元期末等差递减年金终值："+Ds,0);
X = m/Ds;
webTJ.display("问题b、每月递减额："+X,0);
M = t1*X;
webTJ.display("问题b、第一月末还款额："+M,0);
S = (t1*(t1+1)/2)*X;
webTJ.display("问题b、还款总额："+S,0);
var R = 100000;
var t2 = 5;
var t3 = 15;
var v=1/(1+i);
var V = Math.pow(v,t2);
var a = webActuary.getIFA(t2,i,1);
Ds = webActuary.getDIFA(t3,i,1);
X = (m-R*a)/(V*Ds);
webTJ.display("问题c、第六年开始每年递减额："+X,0);
M = t2*X;
webTJ.display("问题c、第六年末还款额："+M,0);
S = R*t2+(t3*(t3+1)/2)*X;
webTJ.display("问题c、还款总额："+S,0);
5、等比递增（减）型n年期年金的现值和终值
I、期初付等比递增（减）型n年期年金的现值和终值
设第一年年初付给1元，以后每年收付额递增（减）\(j\)比例，共付\(n\)年，用\((P\ddot{a})_{_n}\)表示该年金的现值，\((P\ddot{s})_{_n}\)表示该年金的终值，则：
设\(u=(1+j)v\)
II、期末付等比递增（减）型n年期年金的现值和终值
设第一年年末付给1元，以后以后每年收付额递增（减）\(j\)比例，共付\(n\)年，用\((Pa)_{_n}\)表示该年金的现值，\((Ps)_{_n}\)表示该年金的终值，则：
设\(u=(1+j)v\)
【例1.20】某人从20岁开始购买养老保险，其保险账户拟以个人工资8%记入。如果当年工资为6000元，工资年增长率为2%，个人账户累积利率为4%。
a、计算他在退休时个人账户累积额；
b、如果累积利率前10年内为4%，退休前10年内为2%，中间20年为3%，计算退休时个人账户累积额。
解：
a、个人账户在20岁时的现值，
个人账户在60岁时的累积额，
b、20-29岁期间，个人账户在20岁的现值为：
30-49岁期间，个人账户在20岁的现值为：
50-59岁期间，个人账户在20岁的现值为：
最后，个人账户在60岁的累积值为：
实例代码（例1.20）：
webTJ.clear();
var m = 6000;
var i = 0.04;
var j = 0.02;
var p = 0.08;
var t = 40;
var a = webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("单位元期初付等比递增型年金现值："+a,0);
var w = m*p*webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("问题a、个人账户在20岁时的现值："+w,0);
var s = m*p*webActuary.getRIFS(t,i,j,0);
webTJ.display("问题a、个人账户在60岁时的累积额："+s,0);
var a1 = m*p*webActuary.getRIFA(10,0.04,j,0);
webTJ.display("问题b、20-29岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a1,0);
var a2 = m*p*Math.pow(1.02,10)*webActuary.getRIFA(20,0.03,j,0)*Math.pow(1/1.04,10);
webTJ.display("问题b、30-49岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a2,0);
var a3 = m*p*Math.pow(1.02,30)*10*Math.pow(1/1.04,10)*Math.pow(1/1.03,20);
webTJ.display("问题b、50-59岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a3,0);
var s1 = (a1+a2+a3)*Math.pow(1.04,10)*Math.pow(1.03,20)*Math.pow(1.02,10);
webTJ.display("问题b、个人账户在60岁的累积值为："+s1,0);
三、一般年金的现值和终值
当支付周期和利息周期不一致时，如利息率为年利息率、年金按月结转，这时的年金称为一般年金。
1、一年支付m次的n年年金
I、期初付年金
设一年支付\(m\)次，每年期初支付\(\frac{1}{m}\)，期限为\(n\)年，年利率为\(i\)。记\(\ddot{a}_n^{(m)}\)为该年金现值，\(\ddot{s}_n^{(m)}\)为该年金终值，则：
一般年金与基本年金的关系为：
II、期末付年金
设一年支付\(m\)次，每年期末支付\(\frac{1}{m}\)，期限为\(n\)年，年利率为\(i\)。记\(a_n^{(m)}\)为该年金现值，\(s_n^{(m)}\)为该年金终值，则：
一般年金与基本年金的关系为：
【例1.20a】某人计划在30岁时每年年初存入6000元建立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休，问在20年内，
a、每年可领取多少钱？
b、每月可领取多少钱（利息周期和支付周期不一致）？
解：
a、每年领取额为X，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=X\times\ddot{a}_{20|0.02}\)，解得\(X=14886.06\)（元/年）
b、解法一，首先计算实际利息率。\((1+j)^12=1.02\Leftrightarrow j=0.001651581\) ，每月领取额为\(X\)，则有，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=X\times\ddot{a}_{240|0.001651581}\Leftrightarrow X=1251.80\)（元/月）
解法二，\(6000\times\ddot{s}_{30|0.02}=12\times X\times\ddot{a}_{20|0.02}^{(12)}\Leftrightarrow X=1251.80\)（元/月）
实例代码（例1.20a）：
webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金现值
var A2=webActuary.getGIFA(20,12,0.02,0); //期初多次付年金现值
var S = webActuary.getIFS(30,0.02,0); //期初年金终值
var C1 = (6000*S)/A1; //每年领取钱数
var C2 = (6000*S)/(12*A2); //每月领取钱数
webTJ.display("每年领取钱数："+C1,0);
webTJ.display("每月领取钱数："+C2,0);
【例1.21】某人计划在30岁时每月月初存入500元建立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休，问在20年内，
a、每年可领取多少钱？
b、每月可领取多少钱？
解：
a、每年领取额为\(X\)，\(500\times\ddot{s}_{360|0.001651581}=X\times\ddot{a}_{20|0.02}\Leftrightarrow X=14751.80\)（元/年）
b、每月领取额为\(X\)，\(500\times\ddot{s}_{360|0.001651581}=X\times\ddot{a}_{240|0.001651581}\Leftrightarrow X=1240.51\)（元/月）
实例代码（例1.21）：
webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金年度现值
var A2=webActuary.getIFA(240,0.001651581,0); //期初付年金月度现值
var S = webActuary.getIFS(360,0.0016515812,0); //期初年金月度终值
var C1 = (500*S)/A1; //每年领取钱数
var C2 = (500*S)/A2; //每月领取钱数
webTJ.display("每年领取钱数："+C1,0);
webTJ.display("每月领取钱数："+C2,0);
2、一年结转k次的年金
I、期初付年金
设一年结转\(k\)次利息，每次利息结转周期的实际利息率为\(j\)，每年年初支付1元，共支付\(n\)年。
记\(\ddot{a}_n(k)\)为该年金现值，\(\ddot{s}_n(k)\)为该年金终值，则：
II、期末付年金
设一年结转\(k\)次利息，每次利息结转周期的实际利息率为\(j\)，每年年末支付1元，共支付\(n\)年。
记\(a_n(k)\)为该年金现值，\(s_n(k)\)为该年金终值，则：
【例1.22】某人向银行贷款20000元，年利率5%，期限为10年。约定每年年初还款，每年结转4次利息，求每年还款额。
解、 \((1+j)^4=1.05\Leftrightarrow j=0.012272234\)
\(X\times\ddot{a}_{10|0.012272234}(4)=20000\Leftrightarrow X\times\frac{\ddot{a}_{4|0.012272234}}{\ddot{a}_{40|0.012272234}}=2467\)（元/年）
实例代码（例1.22）：
webTJ.clear();
var A=webActuary.getKIFA(10,4,0.012272243,0); //期初每年4次付年金现值
webTJ.display("每每年还款额："+20000/A,0);
四、连续年金的现值和终值
支付频率无限大（即连续支付，在一般年金中，令\(m\rightarrow\infty\)）的年金称为连续年金。设连续支付\(n\)个计息期，每个计息期的支付额为1的年金现值为\(\bar{a}_n\)，终值为\(\bar{s}_n\)，则：
五、永续年金的现值
支付次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。如股票中不能赎回的优先股，其固定红利的付给就是永续年金的形式。由于支付没有终点时刻，永续年金的终值不存在。当\(n\rightarrow\infty\)时，每年支付1元的永续年金现值为：
六、确定年金类函数索引和计算表
基本年金现值
函数：webActuary.getIFA(t,p,k);
公式：(1-30) - 期初、(1-33) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
基本年金终值
函数：webActuary.getIFS(t,p,k);
公式：(1-31) - 期初、(1-34) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
基本年金计算表（确定型年金计算表I）
金额 利率 期限 期初期末
延期付年金现值
函数：webActuary.getMIFA(t,p,m,k);
公式：(1-38) - 期初、(1-39) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1
延期付年金终值
函数：webActuary.getMIFS(t,p,m,k);
公式：(1-38a) - 期初、(1-39a) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1
延期年金计算表（确定型年金计算表II）
金额 利率 期限 延期 期初期末
递增型年金现值
函数：webActuary.getIIFA(t,p,k);
公式：(1-41) - 期初、(1-43) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
递增型年金终值
函数：webActuary.getIIFS(t,p,k);
公式：(1-42) - 期初、(1-44) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
递增型年金计算表（确定型年金计算表III）
金额 利率 期限 期初期末
递减型年金现值
函数：webActuary.getDIFA(t,p,k);
公式：(1-45) - 期初、(1-47) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
递减型年金终值
函数：webActuary.getDIFS(t,p,k);
公式：(1-46) - 期初、(1-48) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
递减型年金计算表（确定型年金计算表IV）
金额 利率 期限 期初期末
等比递增（减）型年金现值
函数：webActuary.getRIFA(t,p,q,k);
公式：(1-48a) - 期初、(1-48c) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；q - 收付额递增（减）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1
等比递增（减）型年金终值
函数：webActuary.getRIFS(t,p,q,k);
公式：(1-48b) - 期初、(1-48d) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；q - 收付额递增（减）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1
等比递增（减）型年金计算表（确定型年金计算表V）
金额 利率 期限 增加比例 期初期末
一年多次支付年金现值
函数：webActuary.getGIFA(t,m,p,k);
公式：(1-49) - 期初、(1-51) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年支付次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次支付年金终值
函数：webActuary.getGIFS(t,m,p,k);
公式：(1-52) - 期初、(1-53) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年支付次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次支付年金计算表（确定型年金计算表VI）
金额 利率 期限 支付次数 期初期末
一年多次结转年金现值
函数：webActuary.getKIFA(t,m,p,k);
公式：(1-57) - 期初、(1-59) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年结转次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次结转年金终值
函数：webActuary.getKIFS(t,m,p,k);
公式：(1-58) - 期初、(1-60) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年结转次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1
一年多次结转年金计算表（确定型年金计算表VII）
金额 利率 期限 结转次数 期初期末
七、寿险精算代码窗口
代码窗口
注：可将例题实例代码复制、粘贴到“代码窗口”，点击“运行代码”获得计算结果（鼠标选择实例代码\(\rightarrow\)Ctrl+C:复制\(\rightarrow\)鼠标点击“代码窗口”使其获得焦点\(\rightarrow\)Ctrl+V:粘贴）
代码运行效果
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