网络统计公式

1、在网页中展示统计公式

类似数学、物理学等，统计学中有很多模型和数学公式。目前数学公式在网页上显示的方法主要有三种：图片显示，数学标记语言（MathML），和文档排版系统（LaTeX）。在网页中像打字一样编辑和显示数学公式一直以来是数理工作者关注的问题。这里介绍一下LaTeX文档排版系统公式编辑和显示方式。

LaTeX是一种基于ΤEΧ的排版系统，由美国计算机学家莱斯利·兰伯特（Leslie Lamport）在20世纪80年代初期开发，利用这种格式，即使使用者没有排版和程序设计的知识也可以充分发挥由TeX所提供的强大功能，能在几天，甚至几小时内生成很多具有书籍质量的印刷品。对于生成复杂表格和数学公式，这一点表现得尤为突出。因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。这个系统同样适用于生成从简单的信件到完整书籍的所有其他种类的文档。

TEX（TeX）是由著名的计算机科学家Donald E. Knuth（高德纳）发明的排版系统，该系统提供了一套功能强大并且十分灵活的排版语言，它多达900多条指令，并且TeX有宏功能，用户可以不断地定义自己适用的新命令来扩展TeX系统的功能。许多人利用TeX提供的宏定义功能对TeX进行了二次开发，其中比较著名的有美国数学学会推荐的非常适合于数学家使用的AMS-TeX以及适合于一般文章、报告、书籍的LaTeX系统。

LaTeX是TEX 中的一种格式 ，是建立在TeX 基础上的宏语言，也就是说，每一个LaTeX 命令实际上最后都会被转换解释成几个甚至上百个TeX命令。但是，普通用户可以无需知道这中间的复杂联系。就像编程的时候如果使用一些已经编译好的函数库和模板可以使我们仅仅用几个命令就实现很多功能一样，LaTeX根据人们排版文章的习惯，定义了许多命令和模板，通过这些命令和模板，我们可以很快的得到漂亮的排版结果。

2、Latex数学符号基本命令

Latex基本数学公式通常包含在数学环境标记中，包括：

$数学公式$、$$数学公式$$或\[数学公式\]等

以下是一些基本的数学公式命令。

（1）行中数学公式

$数学公式$：符号“$”是行中数学公式起始符，“$”是行中数学公式结束符。例如，$\sqrt[3]{x^4-3x+1}$。行中数学公式在文档中不换行，可以插入任何段落或句子中且不破坏文档结构

这是行中数学公式：$\sqrt[3]{x^4-3x+1}$。

（2）独立数学公式

$$数学公式$$：符号符号“$$”即为起始符，又为结束符。例如，$$\sqrt[3]{x^4-3x+1}$$。 独立数学公式自动换行并且居中。

这是独立数学公式： $$\sqrt[3]{x^4-3x+1}$$

（3）角标(上下标)

上标命令：^{}；  下标命令：_{}

上下标命令放在需要插入上下标的地方，花括弧内为上下标内容，当角标为单个字符时，可以不用花括号；如果角标为多字符或多层次，必须用花括号。例如，

$x^2$, $x_1^2$, $x^{(n)}_{22}$, $^{16}O^{2-}_{32}$, $x^{y^{z^a}}$, $x^{y_z}$

分别显示为，

$x^2$, $x_1^2$, $x^{(n)}_{22}$, $^{16}O^{2-}_{32}$, $x^{y^{z^a}}$, $x^{y_z}$

有时，例如

$y_N$

如果不加改变大小的命令，则输出为$y_N$。当角标位置看起来不明显时，可以强制改变角标大小或层次，举例如下，

$y_N$, $y_{_N}$, $y_{_{_N}}$      

第一种为正常输出，但输出效果不明显；第二种将一级角标改为二级角标；第三种将一级角标改为三级角标。显示效果，

$y_N$, $y_{_N}$, $y_{_{_N}}$

（4）分式

分式命令：\frac{分子}{分母}

对于行内短分式，可用斜线/输入，例如，(x+y)/2

举例：

行内分式：$\frac{x+y}{y+z}$     

这是行内分式：$\frac{x+y}{y+z}$

行间分式：$$\frac{x+y}{y+z}$$

这是行间分式： $$\frac{x+y}{y+z}$$

上面的例子表明行内分式字体比行间分式字体小，因为行内分式使用的是角标字体。可以人工改变行内分式的字体大小，例如这个行内公式

$\displaystyle\frac{x+y}{y+z}$ 

显示为，$\displaystyle\frac{x+y}{y+z}$。

连分式,

$x_0+\frac{1}{x_1+\frac{1}{x_2+\frac{1}{x_3+\frac{1}{x_4}}}}$

显示为，

$x_0+\frac{1}{x_1+\frac{1}{x_2+\frac{1}{x_3+\frac{1}{x_4}}}}$

可以通过强制改变字体大小使得分子分母字体大小一致，例如：

$
\newcommand{\FS}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}}
x_0+\FS{1}{x_1+\FS{1}{x_2+\FS{1}{x_3+\FS{1}{x_4}}}}
$

上述代码显示为,

$\newcommand{\FS}[2]{\displaystyle\frac{#1}{#2}} x_0+\FS{1}{x_1+\FS{1}{x_2+\FS{1}{x_3+\FS{1}{x_4}}}}$

其中第一行命令定义了一个新的分式命令，规定每个调用该命令的分式都按\displaystyle的格式显示分式；分式放在displaymath环境中。

分数线长度值是预设为分子分母的最大长度，如果想要使分数线再长一点，可以在分子或分母两端添加一些间隔，例如,

$\frac{1}{2}$,  $\frac{\;1\;}{\;2\;}$

显示为，$\frac{1}{2}$, $\frac{\;1\;}{\;2\;}$

第一个分式是正常的分式，第二个分式在分子(分母)前后都加入个一个间隔命令“;”。

（5）根式

二次根式命令：\sqrt{表达式}

如果表达式是单个字符，则不需要花括号，但需要在字符和sqrt间加入一个空格。

n次根式命令：\sqrt[n]{表达式}

被开方表达式字符高度不一致时，根号上面的横线可能不在同一条直线上；为了使横线在同一直线上，可以在被开方表达式中插入一个只有高度没有宽度的数学支柱，例如，

   $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c},     \qquad       \sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}+\sqrt{\mathstrut c}$

分别显示为,

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}, \qquad \sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}+\sqrt{\mathstrut c}$

注意比较两个公式。式中\quad （退一格）和\qquad（退两格）。

命令\surd生成根号上没有横线的根式，例如，

$\surd{(x+y+z)}$

显示为,$\surd{(x+y+z)}$。

（6）求和与积分

求和命令：\sum_{k=1\}^n (求和项紧随其后)
积分命令：\int_a^b (积分项紧随其后)

无穷级数

$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 

显示为，

$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$

定积分

$\int_0^\infty e^x$ 

显示为，

$\int_0^\infty e^x$

求和和积分式，

$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n!} =\int_0 ^\infty e^x$    

显示为,

$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n!} =\int_0 ^\infty e^x$

改变上下限位置的命令：\limits(强制上下限在上、下侧) 和 \nolimits(强制上下限在右侧)。行内公式上下限在积分、求和符号上侧：

\sum\limits_{k=1}x^n 和 \int\limits_a^b。例如，$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ 或 $\int\limits_a^b$  

分别显示为，

$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ 或 $\int\limits_a^b$

行间公式上下限在积分、求和符号右侧：

\sum\nolimits_{k=1}x^n。例如，$$\sum\nolimits_{k=1}^\infty x^n=\frac{1}{1+x}$$          

显示为，

$$\sum\nolimits_{k=1}^\infty x^n=\frac{1}{1+x}$$

（7）下划线、上划线等

上划线命令：\overline{公式}
下划线命令：\underline{公式}

例如：

$\overline{\overline{a^2}+\underline{ab}+\bar{a}^3}$

显示为，

$\overline{\overline{a^2}+\underline{ab}+\bar{a}^3}$

上花括弧命令：\overbrace{公式}^{说明}
下花括弧命令：\underbrace{公式}_{说明}

例如，

$\underbrace{a+\overbrace{b+\dots+b}^{m\mbox{个}}+c}_{20\mbox{个}}$    

显示为,

$\underbrace{a+\overbrace{b+\dots+b}^{m\mbox{个}}+c}_{20\mbox{个}}$

（8）数学重音符号

以 a 为例，

LaTeX	显示
\hat{a}	$\hat{a}$
\check{a}	$\check{a}$
\breve{a}	$\breve{a}$
\tilde{a}	$\tilde{a}$
\bar{a}	$\bar{a}$
\vec{a}	$\vec{a}$
\acute{a}	$\acute{a}$
\grave{a}	$\grave{a}$
\mathring{a}	$\mathring{a}$
\dot{a}	$\dot{a}$
\ddot{a}	$\ddot{a}$
\widehat{abc}	$\widehat{abc}$
\widetilde{xyz}	$\widetilde{xyz}$

（9）定界符

$
()
\big(\big)
\Big(\Big)
\bigg(\bigg)
\Bigg(\Bigg)
$

以上代码显示为：

$() \big(\big) \Big(\Big) \bigg(\bigg) \Bigg(\Bigg)$

自适应放大命令：\left 和 \right；本命令分别放在左、右定界符前，自动随着公式内容大小调整符号大小。

$(\displaystyle\frac{x+y}{y+z})$

显示为，

$(\displaystyle\frac{x+y}{y+z})$

$\left(\displaystyle\frac{x+y}{y+z}\right)$

以上代码显示为，

$\left(\displaystyle\frac{x+y}{y+z}\right)$

（10）希腊字母

控制命令	显示
\alpha	$\alpha$
\beta	$\beta$
\gamma	$\gamma$
\delta	$\delta$
\epsilon	$\epsilon$
\zeta	$\zeta$
\eta	$\eta$
\theta	$\theta$
\iota	$\iota$
\kappa	$\kappa$
\lambda	$\lambda$
\mu	$\mu$
\xi	$\xi$
\nu	$\nu$
\pi	$\pi$
\rho	$\rho$
\sigma	$\sigma$
\tau	$\tau$
\upsilon	$\upsilon$
\phi	$\phi$
\chi	$\chi$
\psi	$\psi$
\omega	$\omega$

（11）箭头符号

控制命令	显示
\uparrow	$\uparrow$
\downarrow	$\downarrow$
\Uparrow	$\Uparrow$
\Downarrow	$\Downarrow$
\updownarrow	$\updownarrow$
\Updownarrow	$\Updownarrow$
\rightarrow	$\rightarrow$
\leftarrow	$\leftarrow$
\Rightarrow	$\Rightarrow$
\Leftarrow	$\Leftarrow$
\leftrightarrow	$\leftrightarrow$
\Leftrightarrow	$\Leftrightarrow$
\longrightarrow	$\longrightarrow$
\longleftarrow	$\longleftarrow$
\Longrightarrow	$\Longrightarrow$
\Longleftarrow	$\Longleftarrow$
\longleftrightarrow	$\longleftrightarrow$
\Longleftrightarrow	$\Longleftrightarrow$
\mapsto	$\mapsto$
\longmapsto	$\longmapsto$
\nearrow	$\nearrow$
\searrow	$\searrow$
\swarrow	$\swarrow$
\nwarrow	$\nwarrow$
\nLeftarrow	$\nLeftarrow$
\nRightarrow	$\nRightarrow$
\nLeftrightarrow	$\nLeftrightarrow$
\curvearrowleft	$\curvearrowleft$
\curvearrowright	$\curvearrowright$
\Rsh	$\Rsh$

3、LaTeX常用统计公式

（1）乘和除符号

输入 \times 和 \div ，显示为，

$\times$ 和 $\div$

（2）数学函数

例如sin(x)， 输入应该为 \sin(x) ，显示为，

$\sin(x)$

（3）省略号、大于等于号、小于等于号

\ldots 表示跟文本底线对齐的省略号；\cdots 表示跟文本中线对齐的省略号。例如，

$$f(x_1,x_x,\ldots,x_n) = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$$ 

显示为，

$$f(x_1,x_x,\ldots,x_n) = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$$

小于等于号直接输入 \le 或 \leq 。例如，

$$0 \leq P \leq 1$$

大于等于号直接输入 \ge 或 \geq 。例如，

$$0 \geq P 或 P \geq 1$$

（4）多行数学公式

例如，

$$
\begin{eqnarray*}
\cos2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
&=&2\cos^2\theta-1.
\end{eqnarray*}
$$

显示为，

$$\begin{eqnarray*} \cos2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\ &=&2\cos^2\theta-1. \end{eqnarray*}$$

（5）矩阵

例如，

$$ \left(\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \end{array}\right)$$

显示为，

$$\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$$

（6）行列式

例如，

$$ \chi(\lambda) = \left| \begin{array}{ccc}
\lambda - a & -b & -c \\
-d & \lambda - e & -f \\
-g & -h & \lambda - i \end{array} \right|$$

显示为，

$$\chi(\lambda) = \left| \begin{array}{ccc} \lambda - a & -b & -c \\ -d & \lambda - e & -f \\ -g & -h & \lambda - i \end{array} \right|$$

（7）导数

例如，

$$\frac{\partial u}{\partial t}
=h^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$

显示为，

$$\frac{\partial u}{\partial t} =h^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$

（8）极限

例如，

$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+7x^3}{x^2+5x^4}$$

显示为，

$$\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+7x^3}{x^2+5x^4}$$

（9）不定积分和定积分

不定积分例如，

$$\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta$$

显示为，

$$\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta$$

定积分例如，

$$ \int_0^1 \! \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy$$

显示为，

$$\int_0^1 \! \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy$$

4、参考资料

LATEX数学公式排版‡
一份不太简短的LATEX介绍
LaTeX学习笔记

5、练习和参考答案

给出下列常用统计公式LaTeX格式文本，

方差：

$$\sigma^2=\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$

标准差：

$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}}$$

正态分布：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{{2\pi}}\times\sigma}e^{\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$

皮尔逊相关系数：

$$R_{xy}=\frac{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{k=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$$

矩阵表达式：

$$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 4&1\\3&5\\2&3 \end{array}\right)^\tau \times \left(\begin{array}{ccc} 4&1\\3&5\\2&3 \end{array}\right) &=&\\ \left(\begin{array}{ccc} 4&3&2\\1&5&3 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} 4&1\\3&5\\2&3 \end{array}\right) &=&\\ \left(\begin{array}{ccc} 29&25\\25&35 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

参考答案

方差：

$$\sigma^2=\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$$

标准差：

$$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}}$$

正态分布：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{{2\pi}}\times\sigma}e^{\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$

皮尔逊相关系数：

$$R_{xy}=\frac{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{k=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$$

矩阵表达式：

  $$
  \begin{eqnarray*}
  \left(\begin{array}{ccc}
  4&1\\3&5\\2&3 
  \end{array}\right)^\tau
  \times
  \left(\begin{array}{ccc}
  4&1\\3&5\\2&3 
  \end{array}\right)
  &=&\\
  \left(\begin{array}{ccc}
  4&3&2\\1&5&3 
  \end{array}\right)
  \times
  \left(\begin{array}{ccc}
  4&1\\3&5\\2&3 
  \end{array}\right)
  &=&\\
  \left(\begin{array}{ccc}
  29&25\\25&35  
  \end{array}\right)
  \end{eqnarray*}
  $$

**6、在线练习编辑** \sigma^2=\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}

运行代码

LaTeX代码两边不用加$符号