【BZOJ1416/1498】【NOI2006】神奇的口袋（数论，概率）
【BZOJ1416/1498】【NOI2006】神奇的口袋（数论，概率）
题面
BZOJ1416
BZOJ1498
洛谷
题面都是图片形式是什么鬼。。
题解
考虑以下性质
1.\(x[1],x[2]..x[n]\)等价于\(1,2,...n\)
证明：
假设取第\(k\)步以前，所有的球的个数分别是\(a[1],a[2]..a[n]\)，
球的总数是\(sum\)
那么，第\(k\)步取到颜色\(y\)的概率是\(\frac{a[y]}{sum}\)
考虑第\(k+1\)步取到颜色\(y\)的概率
①第\(k\)步取了颜色\(y\)
那么，\(k+1\)步取到\(y\)的概率是\(\frac{a[y]}{sum}*\frac{a[y]+D}{sum+D}\)
②第\(k\)步没有取到颜色\(y\)
那么，\(k+1\)步取到\(y\)的概率是\(\frac{sum-a[y]}{sum}*\frac{a[y]}{sum+D}\)
将概率相加，得到第\(k+1\)步的概率
因此，在没有其他限制下，无论何时取\(y\)的概率都是相等的
也就是题目中按照\(x\)排序之后，可以直接将\(x\)离散。
但是题目中显然存在其他限制，也就是前面的某一次必定会取到某个颜色，所以我们来考虑另外一个性质。
颜色出现的顺序对答案没有影响
对于按照\(x\)排序之后，相邻的两个\(y[i],y[i+1]\)
①\(y[i]=y[i+1]\)，显然没有影响
②\(y[i]\neq y[i+1]\)
考虑概率
交换之后考虑概率
\(P1\)显然等于\(P2\)
因此，\(y\)的出现顺序与结果无关。
根据上面的两个性质，我们可以得出：
1.\(x\)可以直接离散
2.\(y\)的顺序对结果并没有影响
因此，我们可以就按照读入顺序处理，并且\(x\)读进来并没有什么用
记录一下每一个颜色的球个数，以及球的总数
每次要抽到一个颜色的球就给他的数量以及总数都加上\(D\)
然后算一下概率就行了
因此范围比较大，概率要用高精度算
为了防止要写高精度除法
可以先分解质因数，然后约掉之后再做乘法就行了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1111
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
struct BigInt
{
int s[20000],ws;
void init(){s[1]=1;ws=1;}
void Multi(int x)
{
for(int i=1;i<=ws;++i)s[i]=s[i]*x;
for(int i=1;i<=ws;++i)s[i+1]+=s[i]/10,s[i]%=10;
while(s[ws+1])++ws,s[ws+1]=s[ws]/10,s[ws]%=10;
}
void output(){for(int i=ws;i;--i)printf("%d",s[i]);}
}Ans1,Ans2;
int pri[20001],tot;
bool zs[20001];
void getpri()
{
zs[1]=true;
for(int i=2;i<=20000;++i)
{
if(!zs[i])pri[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=20000;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]==0)break;
}
}
}
int Mul[20001],Div[20001];
int sum,a[MAX];
int n,m,D;
void Calc(int x,int *f)
{
for(int i=1;i<=tot;++i)
while(x%pri[i]==0)
{
f[pri[i]]++;
x/=pri[i];
}
}
int main()
{
n=read();m=read();D=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),sum+=a[i];
getpri();
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x=read(),y=read();
if(!a[y]){puts("0/1");return 0;}
Calc(a[y],Mul);Calc(sum,Div);
a[y]+=D;sum+=D;
}
for(int i=1;i<=20000;++i)
if(Div[i]>=Mul[i])Div[i]-=Mul[i],Mul[i]=0;
else Mul[i]-=Div[i],Div[i]=0;
Ans1.init();Ans2.init();
for(int i=1;i<=20000;++i)
for(int j=1;j<=Mul[i];++j)Ans1.Multi(i);
for(int i=1;i<=20000;++i)
for(int j=1;j<=Div[i];++j)Ans2.Multi(i);
Ans1.output();putchar('/');Ans2.output();puts("");
return 0;
}
