弦图

弦图

考试正好有一道题目可以用弦图的方法来做
所以就正好看一下\(CDQ\)的论文
论文戳我看
把中间的一些定义啥的直接蒯（手打）下来了

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子图：

从一个图中随意选一些点，一些边组成的图

诱导子图：

从一个图的点集中选择一个子集，以及链接了子集中点的所有的边，
组成的子图

团：

一个子图，且是完全图

极大团：

不是别的团的子图的团

最大团：

点数最多的团

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最小染色：

用最少的颜色给图染色，相邻的点颜色不同

最大独立集：

选出最多的点，使得相邻点不同时被选

最小团覆盖：

用最少的团覆盖整个图

其中：

\(团数<=色数\)
\(最大独立集数<=最小团覆盖数\)

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弦：

连接环中两个不相邻的点的边

弦图：

一个无向图中，任意一个大小超过\(3\)的环都至少有一个弦
弦图的诱导子图一定是弦图

单纯点：

设\(N(v)\)表示与\(v\)相邻的点集。一个点是单纯点，当且仅当\(\{v\}+N(v)\)的诱导子图是一个团

引理：

任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点

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完美消除序列：

一个点的序列\(v_1,v_2,...v_n\)中（每个点恰好出现一次）
满足\(v_i\)在\(\{v_i,v_{i+1},...,v_n\}\)的诱导子图中是单纯点

定理：

一个图是弦图，当且仅当它有一个完美消除序列

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求完美消除序列

朴素算法：

每次找一个单纯点\(v\)，加入到完美消除序列中
将\(v\)与其相连的边都删去
重复上面过程，如果所有点都被删除则是弦图
时间复杂度\(O(n^4)\)

字典序广度优先搜索（Lex BFS ）

直接去论文上看吧。。

最大势算法

按\(n...1\)的顺序给点标号（标号为\(i\)的点出现在完美消除序列的第\(i\)个）
设\(label[i]\)表示与多少个已经标号的点相邻
每次找\(label\)最大的点标号

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判断一个序列是否为完美消除序列

朴素算法

依次判断即可
复杂度\(O(nm)\)

优化算法

设在\(v_i,v_{i+1}..v_n\)中，与\(v_i\)相邻的点依次为\(v_{j1}...v_{jk}\)
只需要判断\(v_{j1}\)是否与其他点相邻即可
复杂度\(O(n+m)\)

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综上：
弦图判定问题可以在\(O(n+m)\)时间里面解决

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以下的问题都在弦图中

用最少的颜色给所有点染色，使得相邻点不同色

从完美消除序列逆序来
每次给一个点染色可以染的最小的颜色
从中得出结论：团数=颜色数

求最小独立集

完美消除序列中，能选就选
结论：最大独立集=最小团覆盖