小探catlan数

catlan数以前用过一回。只是生搬硬套了下公式，没学到什么，网上对catlan数的介绍感觉有点笼统，于是干脆就自己来写一篇了。。

令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：　

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)（原始方程）

该递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)

另类递归式：

h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

前几项为:h(0)=1, h(1)=1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

解决问题：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式（原始方程）了）

• 表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

这个问题算是卡特兰数的最基本的问题了。。其他问题基本上都能转化为同样的思考方式来做。。

主要为4类：

1.括号化问题：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种) eg：a1xa2xa3=a1x(a2xa3)=(a1xa2)xa3=(a1x(a2xa3))=((a1xa2)xa3)     h(3)=5

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2.出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：

(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

3.将多边行划分为三角形问题。//这个不是太懂

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

一定是二叉树!

先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n))

（能构成h（N）个）

HDU 1023 1130  1134  2067 都是标准的卡特兰数,  ,只是有一点需要注意, 在35以下的catalan数可以直接使用 long long 或 __int64 提交的, 但是当 N 超过35 之后, 这就需要大数了.