矩阵乘法学习笔记(一)

首先我们来了解一下前置芝士知识

 

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根据上面矩阵乘法的定义，我们可以得到下面的代码：

inline mx mul(mx a,mx b)
{
    mx c;
    F(i,1,3)F(j,1,3)c.m[i][j]=0;
    F(i,1,3) F(j,1,3) F(k,1,3) (c.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j]%m))%=m;
    return c;
}

 

由于矩阵乘法满足结合律，那么矩阵也就有了快速幂运算：

inline mx ksm(mx a,ll b)
{
    mx ans=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

 

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接下来，我们讲解对于简单的题目，该如何构造矩阵。

1、斐波那契数列

因为n为long long 范围内的数。显然简单递推是不现实的。

我们来思考一下斐波那契数列的性质：

首先 -> f(1)=1，f(2)=1，

其次-> f(3)=f(2)+f(1)。

我们想办法构造一个矩阵，让f(n)在第一行第一列。

 

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll n,t;
struct mx
{
    ll m[3][3];
}a,f;
mx Mul(mx a,mx b)
{
    mx ans;
    for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) ans.m[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=2;i++)
      for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int k=1;k<=2;k++)
          ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod)%mod;
    return ans;
}
mx M_ksm(mx a,ll b)
{
    mx ans=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=Mul(ans,a);
        a=Mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    a.m[1][1]=a.m[1][2]=a.m[2][1]=1, a.m[2][2]=0;
    f.m[1][1]=f.m[2][1]=1;
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1||n==2)
    {
        cout<<1;
        return 0;
    }
    mx ans=Mul(M_ksm(a,n-3),f);
    printf("%lld",ans.m[1][1]%mod);
}

 

 

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To Be Continued...