水杯题的非常好的解释

两次被问到这题了一次谷歌，一次百度，有必要好好弄清楚。

先看这个题目，再看这个题目的推广。
你有两个杯子，容量分别是a和b，你周围有自来水管（水无限），问能否量出c升水，也就是要求最终两个杯子中的水加起来是c升(c<=a+b)
解：
（1）设a和b的最大公约数是x，那么能量出c，当且仅当x能整除c。因为***(a,b)=x，则必然存在p和q，使得a*p+b*q=x。可以看到p和q必然一正一负，我们假设q为负（p为负的情况分析类似）。
那么我们先考虑如何量出x升水，从等式上看，过程就是我们设法灌满a水杯p次，再倒出q次b升水，剩下的就是恰好x升水。
举个例子吧：假设a=4，b=9，则b-2*a=1，那么倒出一升水就是先用b装9升水，然后把a倒满，把a中的水扔掉，b再把a灌满，把a中的水再仍掉。可以看到最终两个水杯中的水加起来是1.
再举个例子：假设a=2, b=3，则2*a - b=1，量出1升水的过程就是：把a灌满，a倒入b，再把a灌满，a把b倒满，把b中的水扔掉，a中恰好剩下1.
可以看到若***(a,b)=x，那么a*p+b*q=x，蕴含了量出x升水的过程。现在如果x能整除c，那么必然存在u,v，使得a*u+b*v=c（其实就是上述等式两边乘以c/x)。
这个等式也蕴涵了量出c升水的过程。
举个例子：a=4, b=9, c=3，我们用full(a)表示把a灌满， empty(a)表示把a倒空，a->b表示把a倒向b，结果要门是a空或者b满（否则后续操作将无法进行，因为我们不知道两者确切的水量）。
那么b-2*a=1 => 3*b - 6*a =3，过程就是：
full(b), b->a, empty(a), b->a, emtpy(a), b->a,(此时a=1,b=0)，full(b), b->a,emtpy(a),b->a,empty(a),b->a,(此时a=2,b=0)，full(b), b->a, emtpy(a),b->a,empty(a) ，现在b中正好剩下3.
（2）现在证明若c不是***(a,b)的倍数，那么c一定无法量出来。
我们知道若***(a,b)=x不能整除c，那么一定不存在p和q，使得a*p+b*q=c成立。那么我们只要证明任何操作a和b的过程，最终都可以用a*u+b*v表示。
我们看对a和b的操作无非就是 full(a),empty(a),a->b，full(b),empty(b),b->a。
两个都是满的状态和两个都是空的状态是一样的；一个满一个空，能进行的有意义的操作就是从一个倒向另一个，假设a->b，结束是a空或者b满，假设b满a非空，那么下一步把a倒掉，没啥意义（因为回到了一个非常简单的状态），所以需要把b倒掉，那么再下一步呢？把a贵满吗？也没啥意义（因为也回到了一个非常简单的状态）。
通过归纳，可一发现有意义的操作都是把空贵满，或把满的倒空。而把半空的灌满或者倒空都没意义（注意任何一个时刻a和b不可能都半空）。也就是说上说6种操作的一个序列，可以加上条件。也就是full(a)的时候要求是a是空的，empty(a)的时候要求a是满的。
这样任何一个操作过程最终就可以表示为a*u+b*v。 

我们把这个题目变通一下：假设有n个瓶子，每个容量不一，问能否量出c升水来？
同样结论是：n个瓶子的最大公约数为x，则能量出c当且仅当x整除c。