分支限界法(3)
三、0-1背包问题
问题描述
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
例如：
最优解为：(1,0,1)
此时的价值为：6
算法的思想
首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。
在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。
算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。
上界函数
b = cp; // 初始化为目前背包的重量
// n表示物品总数，cleft为剩余空间
while (i <= n && w[i] <= cleft) {
cleft -= w[i]; // w[i]表示i所占空间
b += p[i]; // p[i]表示i的价值
i ++;
}
if (i <= n)
b += p[i] / w[i] * cleft; // 装填剩余容量装满背包
return b; // b为上界函数
主算法循环体
while (i != n+1) { // 非叶结点
// 检查当前扩展结点的左儿子结点
Typew wt = cw + w[i];
if (wt <= c) { // 左儿子结点为可行结点
if (cp+p[i] > bestp)
bestp = cp + p[i];
AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], true, i+1);
}
up = Bound(i+1);
// 检查当前扩展结点的右儿子结点
if (up >= bestp) // 右子树可能含最优解
AddLiveNode(up, cp, cw, false, i+1);
// 取下一个扩展节点（略）
}
实现（略）
四、旅行售货员问题
1. 问题描述
某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程(或旅费)。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一次，最后回到驻地的路线，使总的路程(或总旅费)最小。
路线是一个带权图。图中各边的费用（权）为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。
旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图G中找出费用最小的周游路线（解空间：排列树）。
2. 算法描述
算法开始时创建一个最小堆，用于表示活结点优先队列。堆中每个结点的子树费用的下界lcost值是优先队列的优先级。接着算法计算出图中每个顶点的最小费用出边并用minout记录。
如果所给的有向图中某个顶点没有出边，则该图不可能有回路，算法即告结束。如果每个顶点都有出边，则根据计算出的minout作算法初始化。
使用最小堆：
对树中的每个节点，定义以下成员变量：
优先级：lcost
当前节点的路径长度：cc
剩余节点的最小出边和：rcost
节点在树中的深度：s
长度为n的数组x[0:n-1]，用来存放从起点开始的路径。
我们定义：
对第n-2层以上的节点：lcost = cc + rcost
对第n-1，n-2层的节点：lcost = 该回路的长度
算法的while循环体完成对排列树内部结点的扩展。对于当前扩展结点，算法分2种情况进行处理：
1、首先考虑s = n-2的情形，此时当前扩展结点是排列树中某个叶结点的父结点。如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最小费用，即：lcost < bestc,则将该叶结点插入到优先队列中，否则舍去该叶结点。
2、当s < n-2时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。由于当前扩展结点所相应的路径是x[0:s]，其可行儿子结点是从剩余顶点x[s+1:n-1]中选取的顶点x[i]，且(x[s]，x[i])是所给有向图G中的一条边。对于当前扩展结点的每一个可行儿子结点，计算出其前缀(x[0:s]，x[i])的费用cc和相应的下界lcost。当lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。
算法中while循环的终止条件：
当s=n-1时，相应的扩展结点表示一个叶结点。已找到的回路前缀是x[0:n-1]，它已包含图G的所有n个顶点。
此时该叶结点所相应的回路的费用等于cc和lcost的值。剩余的活结点的lcost值不小于已找到的回路的费用。它们都不可能导致费用更小的回路。因此已找到的叶结点所相应的回路是一个最小费用旅行售货员回路，算法可以结束。
实现
/* 主题：旅行售货员问题
* 作者：chinazhangjie * 邮箱：chinajiezhang@gmail.com * 开发语言：C++ * 开发环境：Microsoft Virsual Studio 2005 * 时间: 2010.11.10 */ #include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <limits> using namespace std ; class heap_node { public: heap_node (float lc, float cc, float rc, int s, const vector<int>& p) : lower_cost (lc), current_cost (cc), remainder_cost (rc), size(s) { path = p ; } friend bool operator < (const heap_node& rhs, const heap_node& lhs) { return rhs.lower_cost > lhs.lower_cost ; } public: float lower_cost ; // 子树费用的下界 float current_cost ; // 当前费用 float remainder_cost ;// 剩余顶点的最小出边费用和 int size ; // 根节点到当前结点的路径为path [0 : s] vector<int> path ; // 需要进一步搜索的顶点是path [s+1 : n-1] } ; class BBTSP { public: static float MAX_VALUE; static float NO_EDGE_VALUE; typedef priority_queue<heap_node> min_heap ; public: // 构造函数 BBTSP (const vector<vector<float> >& g) { graph = g ; node_count = (int)g.size (); best_p.resize (node_count) ; } void bb_TSP () { int n = node_count; min_heap mh ; // 最小堆 // min_out[i] = 顶点i最小出边费用 vector<float> min_out(node_count) ; float min_sum = 0.0f ; // 最小出边费用和 for (int i = 0; i < node_count ; ++ i) { float min = MAX_VALUE ; for (int j = 0; j < node_count ; ++ j) { if (graph[i][j] != NO_EDGE_VALUE && graph[i][j] < min) { min = graph[i][j] ; } } if (min == MAX_VALUE) { cerr << " No cycle !" << endl; return ; } min_out[i] = min ; min_sum += min ; } for (int i = 0; i < node_count ; ++ i) { cout << "结点" << i << "的最小出边费用和为: " << min_out[i] << endl ; } cout << "总出边费用为: " << min_sum << endl << endl ; // 初始化 vector<int> path(n) ; for (int i = 0; i < n; ++ i) { path[i] = i; } heap_node hn(0, 0, min_sum, 0, path); float best_c = MAX_VALUE ; // 搜索排列空间树 while (hn.size < n - 1) { // 非叶结点 path = hn.path ; cout << "path: " ; copy (path.begin(), path.end(), ostream_iterator<int>(cout," ")) ; cout << endl ; if (hn.size == n - 2) { // 当前扩展结点是叶结点的父结点 // 再加条边构成回路 // 所构成的回路是否优于当前最优解 if (graph[path[n-2]][path[n-1]] != NO_EDGE_VALUE && graph[path[n-1]][1] != NO_EDGE_VALUE && hn.current_cost + graph[path[n-2]][path[n-1]] + graph[path[n-1]][1] < best_c ) { // 找到费用更小的回路 best_c = hn.current_cost + graph[path[n-2]][path[n-1]] + graph[path[n-1]][1] ; hn.current_cost = best_c ; hn.lower_cost = best_c ; hn.size ++ ; mh.push (hn) ; } } else { // 产生当前扩展结点的儿子结点 for (int i = hn.size + 1; i < n; ++ i) { if (graph[path[hn.size]][path[i]] != NO_EDGE_VALUE) { // 可行的儿子结点 float cc = hn.current_cost + graph[path[hn.size]][path[i]] ; float rcost = hn.remainder_cost - min_out[path[hn.size]] ; // 优先级= 当前费用+ 剩余结点的最小费用和- 当前节点的最小费用 float b = cc + rcost ; // 下界 if (b < best_c) { // 子树可能含最优解，结点插入最小堆 vector<int> p(n) ; for (int j = 0; j < n; ++ j) { p[j] = path[j] ; } //copy (p.begin(), p.end(), ostream_iterator<int> (cout, " ")) ; //cout << ", " ; p[hn.size + 1] = path[i] ; p[i] = path[hn.size + 1] ; //copy (p.begin(), p.end(), ostream_iterator<int> (cout, " ")) ; //cout << endl; heap_node in(b, cc, rcost, hn.size + 1, p) ; mh.push (in) ; } } } } // 取下一扩展结点 hn = mh.top () ; mh.pop () ; } best_cost = best_c ; for (int i = 0; i < node_count; ++ i) { best_p[i] = path[i] ; } copy (best_p.begin(), best_p.end(), ostream_iterator<int> (cout, " ")) ; cout << endl ; cout << "best cost : " << best_cost << endl ; } private: vector<vector<float> > graph ; // 图的数组表示 int node_count ;// 结点个数 vector<int> best_p ; // 产生最优解的路径 float best_cost ; // 最优解 } ; float BBTSP::MAX_VALUE = numeric_limits<float>::max() ; float BBTSP::NO_EDGE_VALUE = -1.0f ; int main() { // 图的初始化 const int size = 6 ; vector<vector<float> > g(size) ; for (int i = 0; i < size; ++ i) { g[i].resize (size) ; } for (int i = 0;i < size; ++ i) { g[i][i] = BBTSP::NO_EDGE_VALUE ; } g[0][1] = 30 ; g[0][2] = 6 ; g[0][3] = 4 ; g[0][4] = 5 ; g[0][5] = 6 ; g[1][0] = 30 ; g[1][2] = 4 ; g[1][3] = 5 ; g[1][4] = 2 ; g[1][5] = 1 ; g[2][0] = 6 ; g[2][1] = 4 ; g[2][3] = 7 ; g[2][4] = 8 ; g[2][5] = 9 ; g[3][0] = 4 ; g[3][1] = 5 ; g[3][2] = 7 ; g[3][4] = 10 ; g[3][5] = 20 ; g[4][0] = 5 ; g[4][1] = 2 ; g[4][2] = 8 ; g[4][3] = 10 ; g[4][5] = 3 ; g[5][0] = 6 ; g[5][1] = 1 ; g[5][2] = 9 ; g[5][3] = 20 ; g[5][4] = 3 ; BBTSP bt(g) ; bt.bb_TSP () ; return 0 ; }
运行结果：
代码
结点 0的最小出边费用和为: 4
结点 1的最小出边费用和为: 1
结点 2的最小出边费用和为: 4
结点 3的最小出边费用和为: 4
结点 4的最小出边费用和为: 2
结点 5的最小出边费用和为: 1
总出边费用为: 16
path: 0 1 2 3 4 5
path: 0 3 2 1 4 5
path: 0 4 2 3 1 5
path: 0 3 1 2 4 5
path: 0 4 1 3 2 5
path: 0 3 1 5 4 2
path: 0 4 1 5 2 3
path: 0 2 1 3 4 5
path: 0 3 1 4 2 5
path: 0 5 2 3 4 1
path: 0 4 5 3 1 2
path: 0 5 1 3 4 2
path: 0 4 5 1 3 2
path: 0 2 1 3 4 5
path: 0 2 1 5 4 3
path: 0 3 1 5 4 2
path: 0 5 1 4 3 2
path: 0 2 1 4 3 5
path: 0 3 2 1 4 5
path: 0 3 1 4 5 2
path: 0 3 2 1 4 5
path: 0 3 2 1 5 4
path: 0 2 1 5 4 3
path: 0 2 1 4 5 3
path: 0 4 1 2 3 5
path: 0 5 4 3 2 1
path: 0 3 1 2 4 5
path: 0 5 4 1 2 3
path: 0 3 2 1 4 5
path: 0 5 1 2 4 3
0 5 1 2 4 3
best cost : 21
参考资料 《算法分析与设计（第二版）》 王晓东 编著
授课教师 张阳教授
