IEEE745浮点数格式

摘要  浮点数的表示和存储直接影响计算机的结构和性能，IEEE 754是浮点运算部件事实上的工业标准，是计算机上使用最为广泛的浮点标准。文章在阐述了浮点数的基本概念和IEEE 754浮点数的表示形式及其格式的基础上，比较深入的比较、分析和研究了Intel x86和SPARC结构计算机上使用的三种IEEE浮点数的存储格式。

关键词 IEEE 754；浮点数；浮点格式；浮点存储格式；规格化

引言

    IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电子电气工程师协会）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二进制浮点运算规范，是浮点运算部件事实上的工业标准。许多计算机用户有机会在Intel x86和SPARC 或Power PC机之间交换二进制数据，所以对照Intel x86和SPARC结构计算机的数据表示及相关程序设计语言，讨论IEEE 754浮点数存储格式的细节是有意义的。

本文对浮点数、IEEE 754浮点数的表示方法、规格化处理等进行了分析，重点分析、比较了Intel x86和SPARC结构计算机IEEE 754浮点数的存储格式。

1 浮点数

    在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表示实数，但是到目前为止使用最广泛的是浮点表示法。相对于定点数而言，浮点数利用指数使小数点的位置可以根据需要而上下浮动，从而可以灵活地表达更大范围的实数。

    浮点数表示法利用科学计数法来表达实数。通常，将浮点数表示为 ± d.dd_…d ×β^e，其中d.dd… d 称为有效数字（significand），它具有 p 个数字（称p位有效数字精度），β为基数（Base），e为指数（Exponent），±表示实数的正负^[1,2]。更精确地，± d₀.d_１d_２…d_p－1 × β^e， 表示以下数

±（d₀＋d₁β^－1＋… ＋d_p－1β^{－（p－1）}）β^e，（0≤d_i＜β）。

    对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的，因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如，1.0×10² ，0.1 ×10³ ，和0.01 ×10⁴ 都可以表示100.0。为了达到表示单一性的目的，有必要对其作进一步的规范。规定有效数字的最高位(即前导有效位)必须非零，即0＜d₀＜β。符合该标准的数称为规格化数（Normalized Numbers），否则称为非规格化数(Denormalized Numbers)。  

2 IEEE 754浮点数与其浮点格式

2.1 实数的IEEE 754表示形式

    一个实数V在IEEE 754标准中可以用V＝(－1)^s×M×2^E 的形式表示^[3,4]，说明如下：

    (1)符号s(sign)决定实数是正数(s＝0)还是负数(s＝1)，对数值0的符号位特殊处理。

    (2)有效数字M（significand）是二进制小数，M的取值范围在1≤M＜2或0≤M＜1。

    (3)指数E（exponent）是2的幂，它的作用是对浮点数加权。

2.2 浮点格式

    浮点格式是一种数据结构，它规定了构成浮点数的各个字段，这些字段的布局，及其算术解释^[2]。IEEE 754浮点数的数据位被划分为3个字段，对以上参数值进行编码：

    (1)一个单独的符号位s直接编码符号s。

    (2)k位的偏置指数e（e＝e_k－1…e₁e₀）编码指数E，移码表示。

    (3)n位的小数f(fraction)（f＝f_n－1…f₁f₀）编码有效数字M，原码表示。

2.3 浮点数的分类

    根据偏置指数e的值，被编码的浮点数可分成三种类型。

    (1)规格化数

    当有效数字M在范围1≤M＜2中且指数e的位模式e_k－1…e₁e₀既不全是0也不全是1时，浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情况中小数f（0≤f＜1 ) 的二进制表示为0. f_n－1…f₁f₀。有效数字M＝1＋f，即M＝1. f_n－1…f₁f₀ (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位) 。我们总是能调整指数E，使得有效数字M在范围1≤M＜2中，这样有效数字的前导有效位总是1，因此该位不需显示表示出来，只需通过指数隐式给出。

需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias，转换成无符号的偏置指数e，也就是说指数E要以移码的形式在存放计算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=E＋Bias，其中Bias=2^k－1－1。

    (2)非规格化数

    当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为零（即e＝0）时，浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情况下，E=1－Bais，有效数字M=f=0. f_n－1…f₁f₀ ，有效数字的前导有效位为0。

非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方法，其二是它可用来表示那些非常接近于0.0的数。

    (3)特殊数

    当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为1时，小数f的位模式f_n－1…f₁f₀全为0（即f=0）时，该浮点格式所表示的值表示无穷，s=0 时是＋∞，s=1时是－∞。

当指数e的位模式e_k－1…e₁e₀全为1时，小数f的位模式f_n－1…f₁f₀不为0（f_n－1、…、f₁、f₀、至少有一个非零即f≠0）时，该浮点格式所表示的值被称为NaN（Not a Number）。比如当计算 或∞－∞时用作返回值，或者用于表示未初始化的数据。

3 IEEE 754浮点存储格式

    与浮点格式对应，浮点存储格式规定了浮点格式在存储器中如何存放。IEEE标准定义了这些浮点存储格式，但具体选择哪种存储格式由实现工具（程序设计语言）决定。

汇编语言软件有时取决于所使用的存储格式，但更高级的语言通常仅处理浮点数据类型的语言概念。这些浮点数据类型在不同高级语言中有不同的名字，相应的IEEE格式如表1。

表1 IEEE 格式和语言类型

IEEE精度	C，C++	FORTRAN
单精度	float	REAL or REAL*4
双精度	double	DOUBLE PRECISION or REAL*8
扩展双精度	long double	REAL*16 [仅适用于SPARC和PowerPC]

    IEEE 754标准准确地定义了单精度和双精度浮点格式，并为这两种基本格式的分别定义了扩展格式，表1里扩展双精度格式是IEEE标准定义的扩展双精度类中的一种。

下面详细讨论在Intel x86和SPARC平台上使用的三种IEEE浮点存储格式。

.1 单精度格式

    IEEE单精度浮点格式共32位，包含三个构成字段：23位小数f，8位偏置指数e，1位符号s。将这些字段连续存放在一个32位字里，并对其进行编码。其中0:22位包含23位的小数f； 23:30位包含8位指数e；第31位包含符号s。如图1所示。

图1 单精度存储格式

    一般地，32位字的第0位存放小数f的最低有效位LSB（the least significant bit），第22位存放小数f的最高有效位MSB（the most significant bit）；第23位存放偏置指数的最低有效位LSB，第30位存放偏置指数的最高有效位MSB；最高位，第31位存放符号s。

3.2 双精度格式

    IEEE双精度浮点格式共64位，占2个连续32位字，包含三个构成字段：52位的小数f，11位的偏置指数e，1位的符号位s。将这2个连续的32位字整体作为一个64位的字，进行重新编号。其中0：51位包含52位的小数f；52：62位包含11位的偏置指数e；而最高位，第63位包含符号位s。如图2所示。

图 2 双精度浮点数的存储格式

    f[31:0]存放小数f的低32位，其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB，第31位存放小数f的低32位的最高有效位MSB。

    在另外的32位的字里，第0 到19位，即f[51:32]，存放小数f的最高的20位，其中第0位存放这20位最高有效数中的最低有效位LSB，第19位存放整个小数f的最高有效位MSB。第20到30位，即e[52：62]，存放11位的偏置指数e，其中第20位存放偏置指数的最低有效位LSB，第30位存放最高有效位MSB。最高位，第31位存放符号位s。

    在Intel x86结构计算机中，数据存放采用小端法（little endian），故较低地址的32位的字中存放小数f的f[31：0]位。而在在SPARC结构计算机中，因其数据存放采用大端法（big endian），故较高地址的32位字中存放小数f的f[31：0]位。

3.3 扩展双精度格式

    ⑴ 扩展双精度格式（SPARC 结构计算机）

    该4倍精度浮点环境符合IEEE关于扩展双精度格式的定义。该浮点环境的4倍精度浮点格式共128位，占4个连续32位字，包含3个构成字段：112位的小数f，15位的偏置指数e，和1位的符号s。将这4个连续的32位字整体作为一个128位的字，进行重新编号。其中0：110位包含小数f；112：126位包含偏置指数e；第127位包含符号位s。如图3所示。

在SPARC结构计算机中，地址最高的32位字存放小数的32位最低有效位，即f[31:0]；但是在PowerPC结构计算机中，却是地址最低的32位字存放这些位。

紧邻的两个32位字（在SPARC机中向下计算，在PowerPC机中向上计算）分别存放f[63:32]和f[95:64]。

    最后一个字的第0到15位存放小数的最高16位,即f[111:96]。其中第0位存放该16位的最低有效位，第15位存放整个小数f的最高有效位。第16到30位存放15位的偏置指数e，其中第16位存放偏置指数的最低有效位，第30位存放它的最高有效位。最高位，第31位存放符号s。

图 3 扩展双精度存储格式 (SPARC 结构计算机)

    ⑵ 扩展双精度格式（Intel x86结构计算机）

    该浮点环境双精度扩展格式符合IEEE双精度扩展格式的定义。该浮点环境的扩展双精度格式共80位，占3个连续32位字，包含四个构成字段：63位的小数f，1位显式前导有效位（explicit leading significand bit）j，15位偏置指数e，和1位符号位s。将这3个连续的32位字整体作为一个96位的字，进行重新编号。其中0：63包含63位的小数f，第63位包含前导有效位j，64：78位包含15位的偏置指数e，最高位第79位包含符号位s。

    在Intel结构系计算机中，这些字段依次存放在十个连续的字节中。但是，由于 UNIX System V Application Binary Interface Intel 386 Processor Supplement (Intel ABI) 要求双精度扩展参数，从而占用堆栈中3个相连地址的32位字，其中最高一个字的高16位未被使用，如图4所示。

图4 扩展双精度存储格式(Intel x86结构计算机)

    地址最低的32位字存放小数f的低32位，即f[31:0]。其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB 第31位存放小数低32位的最高有效位MSB。

    地址居中的32位字，第0到30位存放小数f的31位最高位，即f[62:32]。其中第0位存放31位最高小数位的最低有效位LSB，第30位存放整个小数的最高有效位，地址居中的32位字的最高位第31位存放显式的前导有效位j。

    地址最高32位字里，第0到14位存放15位的偏置指数e，第0位存放偏置指数的最低有效位LSB，第14位存放最高有效位MSB，第15位存放符号位s。虽然地址最高的32位字的高16位在Intel x86结构系列机种未被使用，但他们对符合Intel ABI的规定来说，是必需的。

4 总结

    以上讨论了Intel x86、Power PC和SPARC平台上使用的三种IEEE 754浮点数格式及其存储格式，下面对浮点数的相关参数进行总结，具体见表2。

表2 IEEE 浮点格式参数总结

参数	浮点格式
	单精度	双精度	扩展双精度（Intel x86）	扩展双精度（SPARC）
小数f宽度n	23	52	63	112
前导有效位	隐含	隐含	显式	隐含
有效数字M精度p	24	53	64	113
偏置指数宽度k	8	11	15	15
偏置值Bias	＋127	＋1023	＋16383	＋16383
符号位宽度	1	1	1	1
存储格式宽度	32	64	80	128

参考文献

[1] David Goldberg with Doug Priest. What Every Computer Scientist Should Know about Floating-Point Arithmetic. http://grouper.ieee.org/

[2] Sun Corporation.Numerical Computation Guide, pp1-11. http://docs.sun.com

[3] Randal E.Bryant，David O'Hallaron. Computer Systems Aprogrammer’s Perspective(英文版) [M] .北京：电子工业出版社，2004

[4]David A. Patterson, John L. Hennessy.Computer Organization & Design: The Hardware/Software Interface. (英文版 第二版) [M] . 北京：机械工业出版社，1999.275~321