【洛谷1290】欧几里德的游戏（博弈论）

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大致题意： 给定两个正整数，从\(Stan\)开始，每次将两个数中较大的数减去较小数的正整数倍（得到数不能小于0），然后是\(Ollie\)进行同样操作。若谁先得到0谁就胜利，请你求出谁会取得胜利。

分类讨论

这一看就是博弈论题。

我们可以用\(w(x,y)\)来表示两个数分别为\(x\)和\(y\)时的获胜情况（设\(x≥y\)），并设\(a=\lfloor\frac xy\rfloor,b=x\)%\(y\)。

下面是一波分类讨论：

• 如果\(x=y\)

  显然此时的决策者胜利（可以直接将\(x\)减去\(y\)，变成\((y,0)\)）。

• 如果\(a≥2\)

  • 若\(w(y,b)=1\)

    则此时的决策者必然可以使当前状态转移到\((y+b,b)\)（只要将\(x\)减去\(y(a-1)\)即可），然后对手就只能使状态转移到\((y,b)\)，因此此时的决策者必胜。

  • 若\(w(y,b)=0\)

    则此时的决策者必然可以使当前状态转移到\((y,b)\)（只要将\(x\)减去\(ay\)即可），则对手必输，因此此时的决策者必胜。

  综上所述，此时的决策者必胜。

• 如果\(a<2\)

  这时，我们不能直接看出此时决策者是否必胜或必输，这时候就需要递归了，因为此时的决策只有一种（将\(x\)减去\(y\)），因此此时的获胜情况就是\(!w(y,x-y)\)。

递归函数w(x,y)

这样一来，就不难得出一个递归函数\(w(x,y)\)了：

inline bool w(int x,int y)//递归函数，判断两个数分别为x和y，且x≥y时是否必胜
{
    if(x^y&&x/y<2) return !w(y,x-y);//如果x≠y且x/y<2，就不能直接看出必胜或必输，因此就执行此时唯一的决策方案，并递归调用w()函数
    return true;//否则，x=y或x/y≥2，通过上面的证明可得此时的决策者必胜
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define tc() (A==B&&(B=(A=ff)+fread(ff,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++)
#define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))
#define N 20
int pp_=0;char ff[100000],*A=ff,*B=ff,pp[100000];
using namespace std;
int n,m;
inline void read(int &x)
{
    x=0;static char ch;
    while(!isdigit(ch=tc()));
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,isdigit(ch=tc()));
}
inline void ps(string x)
{
    register int i,len=x.length();
    for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);
}
inline bool w(int x,int y)//递归函数w(x,y)
{
    if(x^y&&x/y<2) return !w(y,x-y);
    return true;
}
int main()
{
    register int i,T;read(T);
    while(T--)
    {
        read(n),read(m);
        w(max(n,m),min(n,m))?ps("Stan wins\n"):ps("Ollie wins\n");
    }
    return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;
}