浅析拉格朗日插值

前言

拉格朗日插值，是一个根据\(n\)个点确定唯一的\(n-1\)次多项式，然后\(O(n^2)\)单点求值的算法。

它听起来好像很玄学、很高级，实际上很容易理解，毕竟我这种蒟蒻都看得懂。

拉格朗日插值

设多项式为\(f(x)\)，已知\(n\)个点，坐标为\((x_i,y_i)\)。现在要求\(f(k)\)的值。

下面我们直接给出拉格朗日插值的基本公式：

\[f(k)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{i≠j}{\frac{k-x_j}{x_i-x_j}} \]

证明如下：

1. 它一看就是一个\(n-1\)次多项式。
2. 当\(k=x_p\)时：若\(p≠i\)，则存在某一时刻\(p=j\)，那么这时\(k-x_j\)值就为\(0\)，此时的\(y_i\prod_{i≠j}{\frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=0\)；若\(p=i\)，则\(k-x_j=x_i-x_j⇒\frac{k-x_j}{x_i-x_j}=1\)，那么此时的\(y_i\prod_{i≠j}{\frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=y_i\)。故将任意\(x_p\)代入都可以得到\(f(x_p)=y_p\)。
3. 综上所述，这个函数是正确的。

这也就是一般的拉格朗日插值的全部内容了。

具体实现（板子题）

class Lagrange//拉格朗日插值
{
	public:
		I int GV(CI n,CI k,int *x,int *y)//插值
		{
			RI i,j,v1,v2,ans=0;for(i=1;i<=n;++i)
			{
				for(v1=v2=j=1;j<=n;++j) i^j&&(v1=1LL*v1*(k-x[j]+X)%X,v2=1LL*v2*(x[i]-x[j]+X)%X);//分别计算分子和分母
				ans=(1LL*y[i]*v1%X*Qpow(v2,X-2)+ans)%X;//统计
			}return ans;//返回答案
		}	
}G;