斐波拉契数列加强版——时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)

 

对于斐波拉契经典问题，我们都非常熟悉，通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们可以在线性时间内求出第n项F(n)，现在考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n)。第一个斐波拉契数为F(0) = 1。 给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。 

 斐波拉契数列的计算是一个非常经典的问题，对于小规模的n，很容易用递归的方式来获取，对于稍微大一点的n，为了避免递归调用的开销，可以用动态规划的思想轻松获得，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1). 但是对于更大规模，比如上题中的n的范围，动态规划所花的时间也不少了。好在之前在Code Hunt上碰倒这个问题。

考虑下面三个矩阵：

F(n)   F(n-1)        1,1         F(n-1)  F(n-2)

F(n-1) F(n-1)  与   1,0   与   F(n-2)  F(n-3)

分别设为S(n), M, S(n-1).  S(n) = M x S(n-1).

于是

 S(n) = M^(n-1) x S(1) = M^n;   （关系1）

再来看看，若n为32位正整数，设c[32]为其二进制序列的逆序列， c[i] =0,1;

n = Σ(c[i]*2^i),  i=0,...,31;

所以只要我知道M的2^i 方幂（i=0,1,2,...,31)，我们可以轻松计算出S(n)

而计算出32个M的幂需要做32次矩阵乘法，而计算M^n次方，即M^( Σ(c[i]*2^i) ) 也最多需要做32次矩阵乘法

因而最多64次矩阵乘法即可计算出任意32位正整数范围的n对应的S(n)

class Fibonacci {
 2  /*author: Haibin Chen*/ 
public:
    int getNthNumber(int n) {
        // write code here
        if(n <=1) return 1;
        long a[32];
        long b[32];
        long c[32];
        long d[32];
        a[0]=1;
        b[0]=1;
        c[0]=1;
        d[0]=0;
        int i,j;
        for(i=1;i<32;i++){
            a[i] = a[i-1];
            b[i] = b[i-1];
            c[i] = c[i-1];
            d[i] = d[i-1];
            getMulti(a[i],b[i],c[i],d[i],a[i],b[i],c[i],d[i]);
        }
        long ra = 1,rb =0,rc=0,rd=1,mask=1;
        for(i=0;i<32;i++){
            if((n&mask)!=0){
               getMulti(ra,rb,rc,rd,a[i],b[i],c[i],d[i]);
            }
            mask = mask <<1;
        }
        return ra;
    }
    void getMulti(long &a,long &b,long &c,long &d,long a1,long b1,long c1,long d1){
        long tempa = (a*a1+b*c1)%1000000007;
        long tempb = (a*b1+b*d1)%1000000007;
        long tempc = (c*a1+d*c1)%1000000007;
        long tempd = (c*b1+d*d1)%1000000007;
        a = tempa;
        b = tempb;
        c = tempc;
        d = tempd;
    }
};