最长公共子序列（LCS）
定义：
最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的
例如 下面两个单词中颜色标记出来的 data 就是 didactical 和 advantage 的 最长公共子序列， 长度为4；
didactical
advantage
求解：
一、首先我们用递归思想设计一个正确、可行的解。
①如果其中一个序列为空，那么最长公共子序列一定为空，长度为 0 。
②我们比较这两个序列的最后一个字母，如果相同，我们就可以将可以将问题规模缩小1位。
例如：
apple appl
abstpdple 最后一个相同 ， 我们就可以进而求 abstpdpl 的最长公共子序列， 当然这时候要记录下已经有了的公共部分。
③如果最后一位不同怎么办？
例如
ap
abstpd ， 可以想到 ，这时候问题分为了两个部分：
a ap
求解 abstpd 的最长公共子序列 ，和 abstpd 的最长公共子序列
因为最后一个字符不一样，所以我们必定要舍弃两个序列中其中一个的最后一位。显然，我们需要这两个问题中公共子序列更长的那一个。
这样，整个递归算法就算描述完了。
实现的代码在文章最后给出，最好自己直接按照上述描述敲出来代码。
二、寻找优化：动态规划的思想。
我们可以简单的对上面递归的算法进行一些时间分析
最好的情况，也就是不出现③中情况的时候，只需要O（min（lena,lenb））.
然而一旦出现③，那么问题就会分解为两个问题，更糟糕的是，这两个问题的子问题可能雷同！
如图可以看到，两个子问题的子问题可能雷同，将造成大量的重复计算。
最坏的情况将达到 C（lena,lena+lenb）（组合数符号）， 当lena == lenb 时 ，大致为 O（2^n）。
时间复杂度达到了指数级别！
这里我们运用动态规划的思想，刚才递归是自顶向下，我们自底向上的去求解问题。
首先初始化dp数组的第一行和第一列为0；
如图所示，我们可以一行一行的填写这张表，运用上面递归中所讲的方法，
如果遇到相同的字符，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 ,
如果遇到不同的字符 dp[i][j] =max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1] ) .
这样每个空格只用遍历一次就能求出所有的结果，dp[lena][lenb] 就是结果啦。
源代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 600;
int dp[maxn][maxn];
//递归版本的LCS
int fun(string a,string b,int count){
int lena = a.length();
int lenb = b.length();
if(lena == 0 || lenb == 0)
return count;
string tmpa,tmpb;
tmpa = a.substr(0,lena-1);
tmpb = b.substr(0,lenb-1);
if(a[lena-1] == b[lenb-1]){
return fun(tmpa,tmpb,count+1);
}
else {
return max(fun(tmpa,b,count),fun(a,tmpb,count));
}
}
//动态规划LCS
void dynamic(string a,string b){
int lena = a.length();
int lenb = b.length();
for(int i=0;i<=lena;i++){
dp[i][0] = 0;
}
for(int i=0;i<=lenb;i++){
dp[0][i] = 0;
}
for(int i=0;i<lena;i++){
for(int j=0;j<lenb;j++){
if(a[i] == b[j]){
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;
}
else{
dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j] , dp[i][j+1]);
}
}
}
printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
}
void print(){//打印dp数组
for(int i=0;i<=lena;i++){
for(int j=0;j<=lenb;j++){
printf("%d ",dp[i][j]);
}
puts("");
}
}
int main(){
string a,b;
while(getline(cin,a)){
getline(cin,b);
dynamic(a,b); //动态规划
// int ans = fun(a,b,0); //递归版本
// printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
