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EM算法（1） ： K-means算法
1. 简介
K-means算法是一类无监督的聚类算法，目的是将没有标签的数据分成若干个类，每一个类都是由相似的数据组成。这个类的个数一般是认为给定的。
2. 原理
假设给定一个数据集$\mathbf{X} = \{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_N \}$, 和类的个数K。我们的每个类都用一个中心点$\mu_k$表示。每个数据集都应该被归为某一个类，那么我们定义$r_{nk}$:如果$\mathbf{x}_n$属于类k,则$r_{nk}$=1；如果$\mathbf{x}_n$不属于类k，则$r_{nk}$=0。那么我们就可以定义一个误差函数$\mathbf{J}$：
$\mathbf{J} = \sum_n\sum_kr_{nk}||\mathbf{x}_n - \mu_k||^2$
误差函数直观理解为每个数据点离自己类的中心点的距离之和。那么我们的目标就是 min $\mathbf{J}$。我们发现，$\mathbf{J}$中$r_{nk}$和$\mu_k$都是未知的，直接求导的话没有闭式解。所以我们需要换一个方法，这就是所谓的k-keans算法。
k-means算法分为两步。第一步，假设各个类的中心$\mu_k$已知，那么所有$r_{nk}$都可以求出，计算方法采取最近邻原则，即
$r_{nk} = 1$ if $k = arg\ min_j||\mathbf{x}_n - \mu_j||^2$ （1）
$r_{nk} = 0$ otherwise （2）
第二步，假设所有$r_{nk}$都已知，将$\mathbf{J}$对$\mu_k$求导等于零，那么：
$\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mu_k}$ = $2\sum_nr_{nk}(\mathbf{x}_n-\mu_k)$ = 0
那么很容易得到$\mu_k$的闭式解：
$\mu_k = \frac{\sum_nr_{nk}\mathbf{x}_n}{\sum_nr_{nk}}$
k-means有更通俗的解释，第一步其实是给每个数据点都分类，分类方法采取最近邻原则；第二步是根据分类的结果，将中心点重新计算，计算方式为类中所有点的中心点。
3. 与EM算法的关系
这就是为什么在EM算法系列中我们要讲k-means算法的原因：k-means是最简单的EM算法。EM算法全称为Expectation-Maximization algorithm。其也是分为两步，第一步叫Expectation，第二步叫Maximization。
EM算法取名是有其意义的，比如第一步Expectation，顾名思义就是计算期望。那么在k-means算法中，第一步计算$r_{nk}$其实是计算Expectation的一步。$r_{nk}$可以看做是$\mathbf{x}_n$属于各个类的概率，只不过它们取值只有0和1，但也符合概率的定义。那么$\mathbf{x}_n$ 的误差期望就是：$\sum_kr_nk||\mathbf{x}_n - \mu_k||^2$。那么所有点的误差期望之和为：
$\sum_n\sum_kr_{nk}||\mathbf{x}_n-\mu_k||^2$
我们可以发现，这其实就是k-means算法中的$\mathbf{J}$。
EM算法第二步就是对求得的期望求最值。那么在k-means算法中，第二步对$\mathbf{J}$求导等于零其实就是在求最值，这也正好对应EM算法的第二步。所以我们可以看到，其实k-means就是EM算法的一种。
我们知道，用平方和来计算误差其实就是隐性假设原数据服从高斯分布，那么后续我们会看到，我们用EM算法和高斯分布，也能推导出k-means算法。
