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EM算法(1) : K-means算法
1. 简介
K-means算法是一类无监督的聚类算法,目的是将没有标签的数据分成若干个类,每一个类都是由相似的数据组成。这个类的个数一般是认为给定的。
2. 原理
假设给定一个数据集X={x1,x2,...,xN}, 和类的个数K。我们的每个类都用一个中心点\mu_k表示。每个数据集都应该被归为某一个类,那么我们定义r_{nk}:如果\mathbf{x}_n属于类k,则r_{nk}=1;如果\mathbf{x}_n不属于类k,则r_{nk}=0。那么我们就可以定义一个误差函数\mathbf{J}:
\mathbf{J} = \sum_n\sum_kr_{nk}||\mathbf{x}_n - \mu_k||^2
误差函数直观理解为每个数据点离自己类的中心点的距离之和。那么我们的目标就是 min \mathbf{J}。我们发现,\mathbf{J}中r_{nk}和\mu_k都是未知的,直接求导的话没有闭式解。所以我们需要换一个方法,这就是所谓的k-keans算法。
k-means算法分为两步。第一步,假设各个类的中心\mu_k已知,那么所有r_{nk}都可以求出,计算方法采取最近邻原则,即
r_{nk} = 1 if k = arg\ min_j||\mathbf{x}_n - \mu_j||^2 (1)
r_{nk} = 0 otherwise (2)
第二步,假设所有r_{nk}都已知,将\mathbf{J}对\mu_k求导等于零,那么:
\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial\mu_k} = 2\sum_nr_{nk}(\mathbf{x}_n-\mu_k) = 0
那么很容易得到\mu_k的闭式解:
\mu_k = \frac{\sum_nr_{nk}\mathbf{x}_n}{\sum_nr_{nk}}
k-means有更通俗的解释,第一步其实是给每个数据点都分类,分类方法采取最近邻原则;第二步是根据分类的结果,将中心点重新计算,计算方式为类中所有点的中心点。
3. 与EM算法的关系
这就是为什么在EM算法系列中我们要讲k-means算法的原因:k-means是最简单的EM算法。EM算法全称为Expectation-Maximization algorithm。其也是分为两步,第一步叫Expectation,第二步叫Maximization。
EM算法取名是有其意义的,比如第一步Expectation,顾名思义就是计算期望。那么在k-means算法中,第一步计算r_{nk}其实是计算Expectation的一步。r_{nk}可以看做是\mathbf{x}_n属于各个类的概率,只不过它们取值只有0和1,但也符合概率的定义。那么\mathbf{x}_n 的误差期望就是:\sum_kr_nk||\mathbf{x}_n - \mu_k||^2。那么所有点的误差期望之和为:
\sum_n\sum_kr_{nk}||\mathbf{x}_n-\mu_k||^2
我们可以发现,这其实就是k-means算法中的\mathbf{J}。
EM算法第二步就是对求得的期望求最值。那么在k-means算法中,第二步对\mathbf{J}求导等于零其实就是在求最值,这也正好对应EM算法的第二步。所以我们可以看到,其实k-means就是EM算法的一种。
我们知道,用平方和来计算误差其实就是隐性假设原数据服从高斯分布,那么后续我们会看到,我们用EM算法和高斯分布,也能推导出k-means算法。
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