[DP] 0/1 Knapsack Problem

问题定义：

有n个item.每个item有weight和value两个值。有个容器，最多只能放K的weight. 求，如何能让容器中的value总和最大。

0/1 Knapsack 的0/1表示一个item要么放进去要么没有放进去，不能只放一部分进去。

思路：

经典的动态规划问题。

下面我用直接手写例子（本来打算用PPT做的。。。后来发现太麻烦了。。如果大家有更好的方法，可以留言给我。）

第一步：初始化一个二维数组。大小为n*m. n是item的个数，m是capacity大小+1. 例子如下：

 

第二步：给出公式。这里有两种情况。

         - 如果j<wt[i]. 就是当第i个item的weight比当前的j大了，该Item怎么也放不进去了。那就只能不放了。所以DP[i][j] = DP[i-1][j] . 意思就是和没放item i的情况一样。

         - 如果j>=wt[i]. 那就是item i能够放进去。但是注意，只是能够放进去。到底放不放还要看item i加进去后好不好。所以就又要有两种子情况。

              * 把item i放进去。 DP[i][j] = val[i] + DP[i][j-wt[i]]. //val[i]是item i的value. wt[i]是item i的weight. 

              *不把item i 放进去。 DP[i][j] = DP[i-1][j]

            上面两种子情况要一起考虑，所以要取他们的最大值。也就是DP[i][j] = max {val[i] + DP[i][j-wt[i]], DP[i-1][j]}. 也就是到底放不放item i就要看放了它后有没有好处[真是残忍啊！]

 

第三步： 按照公式，可以求出DP[n-1][m-1]的值。就是最终的最大值。

            但是，我们还想知道到底是放了哪几个item进去才达到最大值了[真是事多。。]

           所以，我们又要在那个DP二维表中从右下角往左上角找。具体方法是：

              - 先把DP[i][j]和DP[i-1][j]比较，看看是不是一样。如果一样，就说明item i没有被用到。那就说明item i不在结果中。

              - 如果不一样。就说明item i被用到了。然后跳到DP[i-1][j-wt[i]]的位置继续看。

例子在下面：

 

PS:字迹潦草。希望能看懂。。。。