[后缀自动机]【学习笔记】
SAM ..................Smith ?
参考资料：
1.陈立杰课件
3.https://huntzhan.org/suffix-automaton-tutorial/
4.http://codeforces.com/blog/entry/20861
说明：
花了晚上两个小时+一上午(估计还要一下午写笔记).....我主要看了clj的课件，算法过程主要依照课件上，其他两篇文章作为辅助补充一些证明和性质，课件中有点错误让我很纠结....
那些资料是非常好啦，然后我就乱写一点加深一下印象
前置技能：
有限状态自动机的功能是识别字符串，令一个自动机A，若它能识别字符串S，就记为A(S)=True，否则A(S)=False。
自动机由五个部分组成，alpha：字符集，state：状态集合，init：初始状态，end：结束状态集合，trans：状态转移函数。
不妨令trans(s,ch)表示当前状态是s，在读入字符ch之后，所到达的状态。
如果trans(s,ch)这个转移不存在，为了方便，不妨设其为null，同时null只能转移到null。
null表示不存在的状态。
同时令trans(s,str)表示当前状态是s，在读入字符串str之后，所到达的状态。
$Suffix\ Automaton$
-------$Direcged\ Acyclic\ Word\ Graph\ (DAWG)$
Defination:
A suffix automaton A for a string s is a minimal finite automaton that recognizes the suffixes of s. This means that A is a directed acyclic graph with an initial node i, a set of terminal nodes, and the arrows between nodes are labeled by letters of s. To test whether w is a suffix of s it is enough to start from the initial node of i and follow the arrows corresponding to the letters of w. If we are able to do this for every letter of wand end up in a terminal node, w is a suffix of s. From:http://codeforces.com/blog/entry/20861
注意定义中的最简状态
Concept & Property:
$ST(str)$表示$trans(init,str)$
$Reg(s)$表示从状态$s$开始能识别的$string$，可以发现这是一些$suffix$的集合
（因为能识别str表明当前+str组成了一个suffix，那么str也是一个suffix）
对于string a
$Reg(ST(a))={suf(r_1),suf(r_2),...,suf(r_n)}$
$Right:$
$Right(a)={r_1,r_2,...,r_n}$
一个状态的$Reg$由$Right$集合来决定
SAM中的一个状态s表示了一个$Right-equivalence\ class$，也就是所有$Right集合=Right(s)$的子串
有了Right只需要一个长度就可以确定子串
对于$Right(s)$，适合他的子串的长度在一个范围内，记作$[Min(s),Max(s)]$
对于任意两个状态$a,b$，$Right(a)$和$Right(b)$如果相交，设$Max(a)<Min(b)$，那么$Right(b)$是$Right(a)$的真子集
//因为a是b的后缀啊，这里课件上写反了QAQ//
否则不相交
Right集合的包含关系形成的树形结构叫做$Parent\ Tree$
//其他文献中叫做$Suffix\ Link$ 这个边是从孩子指向父亲的，和Fail Tree有点像//
Parent树从上往下Right集合变小，子串长度变长
$fa=Parent(s)\ \rightarrow\ Right(s) \subset Right(fa)$且$Right(fa)$最小
发现$Max(fa)=Min(s)-1$
//Min(s)-1就多于Right(s)了，就到了Right(fa)//
Parent Tree的叶子节点数O(N)，每个内部节点至少两个孩子，所以总结点数O(N)
//等比数列求和啊//
补充一点：
$Max(s)$也表示了SAM上root到s最多走几步，从root到s的所有路径范围就是$[Min(s),Max(s)]$，因为一条路径就是一个能转移到s状态的子串啊
Suffix Link有点像失配吧，当前状态s走不了了就到Suffix Link指向的状态fa上去，fa是s的后缀所以是可行的，并且有更多走的机会
其他性质：
1.可以证明，在SAM中节点数不超过$2n-2$，边数不超过$3n-3$（包括转移边和Parent Tree的边）
2.Suffix Link从父亲指向儿子后就是Reverse(s)的Suffix Tree 反向字符串的后缀树！后缀树是一颗经过压缩的字典树
//随便证一下：一个节点Right等价，一段后缀相同(相当于压缩)，然后Suffix Link连的点Right集合不同，也就是有不同的边出去了，所以不能压缩//
3.s有--c--> Parent(s)也有 并且人家Right还大
4.s--c-->t Max(t)>Max(s)
5.两个串的最长公共后缀,位于这两个串对应状态在Parent树上的最近公共祖先状态
子串的性质：
从init开始走转移边可以得到所有子串 每个子串都必然包含在SAM的某个状态里
一个状态的Right集合就是他的子树(叶子)的Right的并集
$SAM\ Online\ Construction:$
去看课件吧很详细啦......
使用了Parent Tree的性质，保证了空间O(N)，时间也是O(N)，证明不管啦
简单一说：
- 当前T，长度L，加入x
- 令p=ST(T) ，则Right(p)={L}
- 新建np=ST(Tx)
- p的Parent祖先的Right里都有L
- 对于没有--x-->的祖先v，trans(v,x)=np
- IF 一直到root之后也没有这样的祖先，Parent(np)=root
- ELSE p=第一个有的祖先,令q=trans(p,x) //注意这里的Right(q)={ri+1|s[ri]==c}不包括rn
- IF Max(q)==Max(p)+1,说明强行加入L+1不会使Max(q)变小，直接Parent(np)=q
- ELSE 新建nq复制q，用nq代替trans(v,x)=q的q， Parent(nq)=Parent(q),Parent(q,np)=nq
会使变小：Right(q)的Max可能更长一点，最后加上x还是没他长
Code:
实现上：
1.last保存当前的ST(T) , val保存MAX(s) 也就是到root的最远距离
2.和写过的其他数据结构不一样，root和last要新开节点，因为即使走到root还是可以走的，Parent(root)=0
3.好短啊 感觉比SA还好写
4.注意iniSAM和走之前u=root
int c[N],a[N]; int s[N]; struct State{ int ch[26],par,val; }t[N]; int sz,root,last; inline int nw(int _){t[++sz].val=_;return sz;} inline void iniSAM(){sz=0;root=last=nw(0);} void extend(int c){ int p=last,np=nw(t[p].val+1); for(;p&&!t[p].ch[c];p=t[p].par) t[p].ch[c]=np; if(!p) t[np].par=root; else{ int q=t[p].ch[c]; if(t[q].val==t[p].val+1) t[np].par=q; else{ int nq=nw(t[p].val+1); memcpy(t[nq].ch,t[q].ch,sizeof(t[q].ch)); t[nq].par=t[q].par; t[q].par=t[np].par=nq; for(;p&&t[p].ch[c]==q;p=t[p].par) t[p].ch[c]=nq; } } last=np; } void RadixSort(){ for(int i=0;i<=n;i++) c[i]=0; for(int i=1;i<=sz;i++) c[t[i].val]++; for(int i=1;i<=n;i++) c[i]+=c[i-1]; for(int i=sz;i>=1;i--) a[c[t[i].val]--]=i; } SAM
struct node{ int ch[26],par,val; }t[N]; int sz=1,root=1,last=1; void extend(int c){ int p=last,np=++sz; t[np].val=t[p].val+1; for(;p&&!t[p].ch[c];p=t[p].par) t[p].ch[c]=np; if(!p) t[np].par=root; else{ int q=t[p].ch[c]; if(t[q].val==t[p].val+1) t[np].par=q; else{ int nq=++sz; t[nq]=t[q];t[nq].val=t[p].val+1; t[q].par=t[np].par=nq; for(;p&&t[p].ch[c]==q;p=t[p].par) t[p].ch[c]=nq; } } last=np; }
$Summary$
一定要时刻把握这几条性质：
1.走 子串
2.Parent Tree的祖先 Right集合变大，字符串变短(路径长度变短)，并且是后代的后缀哦
3.出现次数向父亲（Parent边）传递，接收串数从儿子（仍然Parent边）获取
4.拓扑排序/对val用基数排序 ， 然后可以转移边/Parent边 DP ，可以倒着递推出|Right|
5.
